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用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题

来源:用户上传      作者: 赖宗虎

  与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解,但运算量较大。若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。下面就如何用点差法计算举几个例子供大家参考。
  一、求以定点为中点的弦所在直线的方程
  这说明直线AB与双曲线不相交,故被点M平分的弦不存在,即不存在这样的直线l。
  策略:本题如果忽视对判别式的考察,将得出错误的结果,请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M位置非常重要。(1)若中点M在圆锥曲线内,则被点M平分的弦一般存在;(2)若中点M在圆锥曲线外,则被点M平分的弦可能不存在。
  二、求弦的中点坐标和中点轨迹方程
  三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
  四、求圆锥曲线上两点关于某直线对称的问题
  五、注意的问题
  利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题、对称性问题,方法简捷明快,结构精巧,很好地体现了数学美,而且应用特征明显,是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料,利于培养学生的解题能力和解题兴趣。但不能忽略弦中点的轨迹应在曲线内的条件。
  (作者单位:四川省南充市白塔中学 637100)
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