概率论知识在经济问题中的应用研究

来源:用户上传      作者: 李璇

　　摘 要：在分析概率论知识在经济学诸多领域的应用的基础上，结合教学实践，着重分析概率论在利用古典概型求彩票中奖率、期望方差在金融投资组合中的应用，以及中心极限定理在保险盈利中的应用。通过这些分析，为人们科学地认识概率论在经济学中的作用提供一些有益的指导。
　　关键词：古典概型；期望方差；投资组合；中心极限定理；经济学
　　中图分类号：F014 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2016）01-0004-02
　　一、引言
　　这些年随着科学技术的发展，概率论与数理统计在经济学的研究中得到广泛应用。借助概率论方法研究经济问题有三个优势：（1）由于数学固有的灵活性，可使金融领域的相关研究和探索借助于其多种计算方法和数学模型，从而更好地实现金融问题背后的经济变量函数，使复杂的关系清晰化。（2）由于其固有的严密逻辑性，使得数学分析成为科学推理的主要手段，并使其他一些难以解释的逻辑关系变得简单化。（3）由于其固有的精确性，使得对经济范畴之间的数量关系的描述和研究可以数量化。总之，概率论在经济学中的应用使得经济学成为一门更加规范的科学。
　　二、概率论在经济问题中的应用
　　（一）概率论在彩票中的应用
　　随着我国的彩票运营机制的日渐成熟，彩票以其“机会均等”的中奖机制愈来愈得到广大人民群众的参与与支持，也逐渐成为许多人生活的一部分。因起源于古代赌博游戏，概率论常常被应用于估计推断彩票的中奖可能性。设样本空间基本事件的个数m，事件所包含基本事件的个数n，则事件A的概率P（A）=n/m。
　　例1，每注双色球由7个号码球组成，包括6个红色号码球和1个蓝色号码球。红色号码球编号从1-33，蓝色号码球编号从1-16，中奖规则如下：一等奖，猜中6个红球及1个蓝球；二等奖，猜中6个红球；三等奖，猜中5个红球及1个蓝球。求对应于每种中奖等级的概率？
　　解：记事件Ai为中i等奖，则：
　　P（A1）==5.6430×10-8
　　P（A2）==9.0288×10-7
　　P（A3）==9.1417×10-6
　　通过上面的分析可以看到，“双色球”方案对应于不同等级的中奖概率，彩民们可以结合不同的中奖概率及自己的收入水平来购买彩票。
　　（二）概率论在投资组合中的应用
　　在金融市场上，任何投资者首要考虑的目标便是规避投资风险。在众多降低风险的途径中，多样化投资是较为有效的一种方式。1952年美国经济学家马科维茨通过研究投资证券的选择及资金配比，提出了投资组合理论。该理论以期望来刻画投资组合的收益率，以方差来刻画投资组合的风险。
　　在概率论中，随机变量的和与差的期望和方差是一个重要的内容，设两个随机变量X和Y，则随机变量的期望和方差满足如下性质：
　　E（X+Y）=E（X）+E（Y）
　　D（X±Y）=D（X）+D（Y）±2Cov（X，Y）
　　其中，Cov（X，Y）为X和Y的协方差。
　　例2， 若A和B为两种风险资产，收益率分别为X和Y，投资资金配比分别为ω和1-ω。设两种风险资产收益均值分别为μ1和 μ2，方差分别为σ2
　　1和σ2
　　2，相关系数为ρ。求此投资组合的平均收益及风险，并求使投资风险最小时的ω。
　　解：设此投资组合的收益为：
　　Z=ωX+（1-ω）Y
　　则平均收益和风险分别为：
　　E（Z）=ωE（X）+（1-ω）E（Y）=ωμ1+（1-ω）μ2D（Z）=ω2D（X）+（1-ω）2D（Y）+2ω（1-ω）Cov（X，Y）
　　=ω2σ2
　　1+（1-ω）2σ2
　　2+2ω（1-ω）ρσ
　　1σ
　　2
　　要求最小投资风险，即求D（Z）关于ω极小值点，令=0，即2ωσ2
　　1-2（1-ω）σ2
　　2+2ρσ
　　1σ
　　2-4ωρσ
　　1σ
　　2=0
　　解得：
　　ω=
　　当σ2
　　1=0.04，σ2
　　2=0.09，ρ=0.5，通过计算得到ω=0.875，即在这种情况下，投资者把85.7%的资金投资证券A，把14.3%投资于证券B，可使投资风险最小。
　　（三）概率论在保险市场中的应用
　　在人们的生活中，会遇到各种各样的风险，如何防范风险，便成了很多人不得不考虑的问题，保险公司也就应运而生。保险公司为各种风险保障服务，所以人们有时对保险公司是否盈利存有疑虑。其实，保险市场就是概率论知识最为重要的一个应用。意外仅仅是小概率事件，一般不会发生，我们可以应用中心极限定理来对保险公司的盈亏进行估算和预测。
　　例3，若一家保险公司有10 000个人参保人寿保险，费用为每人每年12元。假设一个人在一年内死亡的概率为0.6%，且死亡时保险公司需向其家属赔付1 000元，问：
　　（1）此保险公司有多大的概率会亏损？
　　（2）若其他条件不变，为使保险公司每年的利润不少于6 000元的概率至少为99%，可最多设赔偿金为多少？
　　解：设X表示一年内死亡的人数，则X～b（n，p），其中n=1 000，p=0.6%。
　　近似地X～N（60，59.64），设Y表示保险公司一年的利润，则：
　　Y=10 000×12-1 000X，
　　于是由中心极限定理得：
　　（1）P（Y<0）=P（10 000×12-1 000X<0）
　　=1-P{≤}
　　≈1-Φ（7.769）=0
　　（2）设赔偿金为a元，则：
　　P（Y≥6 000）=P（10 000×12-aX≥6 000）=P（X≤）≥0.99
　　由中心极限定理，上式等价于：
　　Φ
　　≥0.99
　　解得：
　　a≤769.39
　　从上面的例题可以看出，此保险公司亏损的概率几乎为零。现实生活中，为使效益最大化，保险公司往往针对不同的风险等级设计不同的理赔率。因此，我们可以为小概率的“意外”买保险，保险公司也不会因此意外而亏损，由此达到双赢的目的。
　　三、结语
　　通过以上分析可以看出，概率论的发展对现代经济的发展起到了巨大的促进作用，它为经济学的发展提供了一定的理论基础，也使资本市场更加丰富多彩。其次，在经济问题如彩票、保险市场、组合投资等领域，概率论使一些具有随机性质的经济行为得到更合适的描述，人们也更容易厘清这些随机经济行为的内在联系，这样会推动经济理论进一步深化和发展。由此可见，概率论使一些现代经济学问题变得更加清晰、可量化，正一步步推动着现代经济学的发展。
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　　[责任编辑 吴高君]
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