经济生活中的概率分析
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作者: 伍学滨 彭友霖 刘国良
[摘要] 本文利用概率知识对经济生活中常见一些随机事件：博彩、商品买卖、资金投资等进行了概率分析与总结，为我们经济生活提供正确指导与有益启示。
[关键词] 随机事件 概率分析 博彩 商品买卖 资金投资
随着社会经济的发展，概率论在工农业生产、国民经济、现代科学技术等方面具有广泛的应用，其实，在我们经济生活中经常碰到概率问题，人们凭经验和直觉也能做出判断，但在某些情况下，如果不利用概率理论经过缜密的分析和精确的计算，人们的结论可能会与事实大相径庭，错得离谱。因此，概率论不仅是现代科学中每一学科的指南，而且象约瑟夫・巴特勒所说，它也是“生活的真正指南”。概率论能给我们带来种种生活的指导及启示。今从中采撷几点，与读者共商。
一、“博彩”中的概率分析
在我国各省各市都会发行各种福利彩票、体育彩票，各地充满诱惑的广告满天飞，而报纸、电视上关于中大奖的幸运儿的报道也热闹非凡。因此吸引了不计其数的人踊跃购买。很简单，只要花2元的人民币，就可以拥有这么一次尝试的机会，试一下自己的运气。但一张彩票的中奖机会有多少？通过下例我们利用概率知识来分析。
例1 根据以下材料，分析中奖情况，下表是2000年某省第二十五期体育彩票的中奖情况，请算出每个奖的中奖概率。
说明：购买某体育彩票时，需选取一个六位数作为彩票号码，第一位可以是0，数字也允许重复，如666666等，可以购买指定号码，也可以由电脑随机选号，购买数量不限（一个号码2元）。另外，选定六位数的号码后，还要在0、1、2、3、4、5这五个数中挑选一个所谓的“特别号”，以兑特等奖之用（每张彩票都不能重复得奖）。
解：用P表示特等奖的概率，Pi表示获i等奖的概率(i=1,2,3,4,5)。因为六位数共有106个，特别号有5种选择，故P=10-6×1/5=2×10-7，即特等奖的中奖率为五百万分之一。
P1=10-6×4/5=8×10-7
P2=10-6×(9+9)=1.8×10-5
P3=10-6×(9×10+9×9+10×9)=2.61×10-4
P4=10-6×(9×102+92×9+10×92+102×9)=3.42×10-3
P5=10-6×[9(103-1)+92×102+92×102+92(102-1)+9(103-19)]=4.2039×10-2
从以上计算可知，中特等奖、一等奖和二等奖的概率极低，要想一夜之间成为“巨富”简直比登天还难。因此，买彩票要有一颗平常心。
二、商品买卖中的概率分析
如今的社会可以说是一个商品经济社会，有的商家为了牟取暴利竞大作虚假广告，这需要消费者有一双雪亮的眼睛，通过实地抽样调查，利用概率知识来科学判断商品的质量。
例2 李老师在水果批发市场上打算买几箱苹果，他询问卖主所售苹果的质量如何，卖主说一箱里(假设为100个)顶多有四、五个坏的。李老师随后挑了一箱，打开后随机抽取了10个苹果，心想这10个中有不多于2个坏的就买，可他发现10个苹果中有3个是坏的。于是李老师对卖主说，你的一箱苹果里不止有5个坏的。卖主反驳说，我的话并没有错，也许这一箱苹果中就这3个坏的，让你碰巧看见了。李老师的指责有道理吗?
解：假设一箱里有100个苹果，其中有5个坏的。根据古典概率的定义，我们知道所抽取的10个中坏苹果数等于3的概率为
类似可求得坏苹果数为4、5的概率分别为
;
故抽取10个中坏苹果数大于2的概率P(X>2)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)≈0.006633。
这表明，一次抽取10个，发现多于2个坏的概率很小，几乎是不可能的，现在居然发生了，这说明李老师的指责是有道理的。
说明：本例反映了“先尝后买”中的数学道理，即抽样调查的方法。先尝后买决定买不买比不尝就买的风险要小，但风险依然存在。
生活中有些事件发生的可能性很小，我们称之为小概率事件，一般认为概率值小于0.05的事件为小概率事件。对小概率事件，人们往往不太重视。关于小概率事件，有两个结论可用于指导我们的生活。第一个称为实际推断原理，即小概率事件在一次试验中实际上是几乎不发生的。如果出现概率很小的事件在只进行一次试验时竟然发生了，那我们有理由怀疑假设前提的正确性。
例3 某厂自称产品的次品率不超过0.5％，现在进行一次抽查，任意抽了200件产品就查出了5件次品，问该厂自称次品率不超过0.5％是否可信?
解:由贝努利(Bernoulli)概型计算出在任意抽出200件产品时恰好含有5件次品的概率为。
概率如此之小，应该说在一次抽查中几乎不可能发生，现在竟然发生了，因此根据实际推断原理，该厂自称次品率不超过0.5％是不可信的，很可能大于0.5％。
关于小概率事件的另一个结论是若不断独立重复某一个试验，则某个小概率事件迟早会发生。这说明实际工作中不能忽视小概率事件。一件看起来可能性很小的事情，在大量重复之下发生的可能性会很大，这也说明加强防范有危害的小概率事件的重要性与迫切性。如长期从事某种具有危险性工作的人，无论其技能多么熟练，时间长了都有可能出事故。“天有不测风云，人有旦夕祸福”、“常在河边走，哪有不湿鞋”、“天网恢恢，疏而不漏”等谚语说明的就是这个道理。
三、资金投资中的概率分析
世界上没有无风险的投资，任何投资行为总与风险相伴。金融投资活动也一样，总是机会与挑战并存，期望与风险同在。投资活动似乎是无从下手、无律可循、无理可度的随机现象，实际上其背后数学分析的威力却在发挥着作用。投资方案的可行性只有通过数学分析方法进行定量分析和论证评价，才能得出最佳方案，才能使投资风险降到最低限度。下面通过实例来分析如何应用数学上的概率分析方法来指导人们的投资决策行为。
例4 某投资者拥有20万元存款，现有2种投资方案供选择：一是投资股票，二是存入银行获取利息。我们知道，股票收益率取决于当前经济形势，而经济形势可分为形势良好、形势中等、形势差(即经济衰退)三种状态。为方便表述起见，假设存入银行的年利率为3％，则存入银行20万元可获得的年利息为6000元（利息税不计）。若投资20万元购买股票，则经济形势处于良好状态时可获利50000元，经济形势处于中等状态时可获利15000元，经济形势处于差状态时可能损失30000元。同时假设一个国家的经济形势发展变化出现良好、中等、差这3种状态的概率分别是25％，45％，30％。试问该投资者应选择哪一种投资方案?
分析：购买股票的收益与经济形势有关，存入银行的收益与经济形势无关。因此，要确定选择哪一种方案，就必须通过计算这两种投资方案对应的收益期望值E来进行判断。
解：设A1表示购买股票，A2表示存入银行；由题设，一年中两种投资方式在不同的经济形势下对应的收益与概率如下表所示
从上表可以初步看出，如果购买股票在经济形势良好和经济形势中等的情况下是合算的，但如果经济形势不好，则采取存人银行的方案比较好，下面应用概率分析方法中的“期望值分析法”(Expectation Value Analysis)对这一投资实例的可行性进行定量分析。
如果购买股票，其收益的期望值E(A1)=50000×0.25+15000×0.45+(-30000)×0.3=10250(元)；
如果存人银行，其收益的期望值E(A2)=6000×0.25+6000×0.45+6000×0.3=6000(元)。
因此，购买股票的收益比存入银行的收益大，按期望收益最大原则，应选择购买股票。
说明：该题是按风险决策中的期望收益最大准则选择方案，这种作法有风险存在。
总之，经济生活中会随时随地出现一些概率问题，通过以上经济生活中常见一些随机事件的概率分析，让我们知道对概率问题自以为是的直觉是多么靠不住，要用科学的方法与态度去对待概率问题，即要利用概率知识来指导我们做出科学推断与决策，在理性的基础上进行综合分析，为我们经济生活提供正确指导与科学决策。
参考文献：
[1]浙江大学:概率论与数理统计[M]．北京：高等教育出版社，2005
[2]北京大学数学科学学院:概率统计[M]．北京：科学技术文献出版社，2004
[3]李裕奇:应用概率与数理统计[M]．成都：西南交通大学出版社，2001
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
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