波利亚“解题理论”及启示

来源:用户上传      作者: 段星

　　摘 要： 波利亚的“解题理论”体现了他对解题方法及解题思维过程的深刻研究，它对于培养学生良好的解题习惯，培养学生创造性思维，推动数学素质教育都有着重要的启示作用。
　　关键词： 波利亚 解题思想 学习习惯 创新意识
　　
　　解题是数学的核心，是创造性思维方法学研究中不可缺的课题，中外许多学者在解题理论和解题训练，特别是创造性解题训练方面都作出许多贡献，其中最为突出的代表就要数波利亚了。
　　乔治・波利亚（1887―1985）美籍匈牙利人，20世纪杰出的数学家，年轻时期于布达佩斯、维也纳、格廷根、巴黎等地攻读数学、物理、哲学。1912年于布达佩斯大学获哲学博士学位，1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教，1940年移居美国，自1942年起一直担任美国斯坦福大学教授。波利亚十分热心教育，重视从小培养学生的理解能力和解题能力。他致力于解题研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这一令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究结果写成《怎样解题》一书。
　　1.波利亚“解题表”的主要思想
　　《怎样解题》的中心思想即谈解题过程中怎样诱发灵感，具体核心部分就是他分解解题的思维过程得到的“怎样解题表”，这张表给出了一个完整的解题过程一般包含的四大步骤［１］。
　　1.1弄清问题。
　　弄清问题即审题，是解题的基础。因为只有正确理解了题意，才能正确地树立解题的思维方法，找出解题途径。在这一步，解题者必须了解问题的文字叙述，弄清题目的已知条件是什么，未知条件是什么，题目要求的是什么。然后通过观察、分析、画图等把文字、图形、符号等发出的信息正确的接收下来，把条件的各个部分分开，充分挖掘题设的内涵，判清题型，审清问题。
　　1.2拟订计划。
　　拟订计划即探索解题的途径，这是解题的关键环节。当我们审清了问题之后，熟悉的问题有一定的解题套路，不需要太多的思考，而对于不熟悉的题目，千万不要急于动笔演算，而是要在头脑中从整体上设计好一个解题思路，稍进一步的问题，需要有一点变化。正如波利亚表中所说：你是否见过形式上稍有不同的题目？你是否知道与此有关的题目？是否知道用得上的定义、定理、公式等？是否可以引进辅助元素？是否可以先解一个有关的或较容易的、较一般的题目?
　　总之，一个正确的解题思路的形成过程是复杂的，它涉及解题者的知识因素、解题经验和解题能力。不过，从思维角度看，都是按照由果索因或由因导果而进行的。
　　1.3实现计划。
　　解题的核心即实现计划，就是根据所探索的思路付诸行动。在解题过程中，这一步是相对容易的。如果计划拟订完善，实现计划往往是做一些机械性的计算。但计划往往是不完善的，所以往往又需要回到上一步，出现一些反复。另外，计算或操作过程中也会存在某些困难，甚至会遇到难以逾越的困难，这时原来的计划就必须推翻重来，此时所需要的主要就是解题者的耐心。解题方案给出了一个解题的总体框架，我们必须耐心地对每一步进行严格推导和计算，确保每一步的细节都是正确的，必须考虑问题的所有条件，步步有理有据、简明、规范地把解决问题的全过程完整地表达出来。
　　1.4检验回顾。
　　检验回顾是解题的魅力所在。这一步相当于我们平日解题所说的“验算”，但比单纯的验算内容更丰富，意义更深邃。它不只是简单地核对答案，判断解题是否正确，进而找出错误并予以纠正，而是要用多种方法，从不同的角度去获得正确的结果，重要的是对解题结果或方法进行迁移思考，总结解题经验，扩大解题成果。正如波利亚所说：“这是领会方法的最佳时机”，“当解题者完成了他的任务，而且他的体验在头脑中还是新鲜的时候，去回顾他所做的一切，可能有利于探索他刚才克服困难的实质。他可以对自己提出许多有用的问题：关键在哪里？重要的困难是什么？什么地方我们可以完成得更好些？我为什么没有觉察到这一点？要看出这一点，我必须具备那些知识？应该从什么角度去考虑？这里有没有值得学习的诀窍可供下次遇到类似问题时应用？”
　　2.波利亚“解题理论”对数学教学的启示
　　2.1借助“解题理论”，培养学生良好的解题习惯［2］。
　　在数学学习中，学生的各种数学能力最终体现在他的解题能力上，而良好的解题习惯是走向成功的桥梁。那么，如何培养学生良好的解题习惯呢？我认为可从以下几点做起。
　　2.1.1应培养良好的审题习惯。
　　学生解题出错或解题感到困难，通常都是由于不认真审题或审题不清，未弄清题意造成的，相当一部分学生在拿到题目后，匆匆浏览完题目后就急于解题，直到解不下去才回头重读题目，发现竟是由于粗心看错了题目条件。要培养良好的审题的习惯，可分以下几步走：第一，通读题目，明确题意；第二，注意挖掘隐含条件；第三，边审边记，边做边审。
　　2.1.2注意培养一题多解，一题多变的思维习惯。
　　一题多解就是对同一道题目分别从不同角度对问题进行分析，求解。这培养了学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力，如：已知a+b=1，求证a+b=1，可以运用代数法、三角法、复数法、几何法、基本不等式、引进二次函数等多种方法进行求解。一题多变就是指同一题目经过适当变化，变换为与原题目内容不同，但解法相同或形似的题目，这有利于扩大学生的视野，深化知识，举一反三，触类旁通。如：若p是△ABC的内心，∠BPC=100°，求∠A的度数。把题目中的“内心”改为“外心”再求∠A的度数。
　　2.1.3养成解题后反思的好习惯。
　　“学而不思则罔，思而不学则殆”。即使是相当优秀的学生，当他们得到问题的解答，并且条理分明，干净利落地写出论证后，也会合上书本，找点别的事来做。这种做法，其实错过了解题的一个重要而有益的阶段，即通过回顾完整的解题过程来巩固所学知识，培养解题能力。解题是学好数学的必由之路，做题的目的就是为了运用所学知识解决实际问题，提高数学素养。因此，养成对自己解题过程进行回顾和反思的习惯是具有正确解题思想的体现，是提高学习效率，培养数学能力的有效方法。做题后的反思，不仅仅是简单的回顾或检验，更重要的是要对解题思路和解题途径进行反思，反思本题所包括的知识点，运用的方法，找出哪些是容易出错的地方。另外，也要注意对一节一章的方法进行反思，积累总结知识经验，提炼解题方法，揭示其中蕴含的数学思想与规律。
　　2.2培养学生创造性思维，激发学生探索意识。
　　2.2.1波利亚关于创造性思维培养的认识［3］。
　　波利亚认为：“任何学问都包括知识和能力两个方面。对于数学，能力比起仅仅具有一些知识要重要得多，因此，学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力，而不仅仅是传授知识。”波利亚发现,在日常解题和攻克难题而获得数学上重大发现之间，并没有不可逾越的鸿沟。他说：“一个重大的发现，可以解决一些重大的问题，但在求解任何问题的过程中，也都会有点滴的发现，想有重大的发现，就必须重视平时的解题。”
　　数学有两个侧面：一方面，已严格提出来的数学是一门系统的演绎科学。另一方面，再创造过程中的数学看起来却像是一门实验性的归纳科学。波利亚提出，通过研究解题方法，我们可以看到数学的第二个侧面，也就是“处于发现过程中的数学”。因此，波利亚把解题作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。
　　波利亚推崇探索法，他认为现代探索法力求了解解题过程，特别是解题过程中典型有用的智力活动，而“怎样解题表”实质上就是试图诱发灵感的“智力活动表”。波利亚把教会学生解题看做是教会学生思考，培养他们独立探索能力的一条主要而有效的途径。事实上，现成的结论和真理并不是最重要的，重要的是人类得出结论，发现真理的过程和方法。因此，在教学中，我们必须确立这样的观念：只有用创造来教会创造，用创造力来激发创造力，只有用发展变化使学生适应并实现发展变化，使学生懂得创造和超越已有的东西不仅是可能的，而且是必要的。用这样的观念来设计整个教学过程，我们才能真正实现创造性教学的目标。

　　2.2.2应注意培养学生的合情推理能力［4］。
　　合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），试验和实践的结论，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，猜想是合情推理的最普遍、最重要的一种思维方法，归纳和类比都含有猜想的成分。所以，我们在教学中提到的猜想、归纳和类比等都属于合情推理的范畴。
　　我国传统的“传授―接受”的教学模式，教师照本宣科，学生循规蹈矩，学生的学习积极性和主动性受到极大的限制，根本无法做到引导学生去探索，猜想，无法培养他们的创造性思维，这种教学模式在一定程度上掩盖了数学创造性思维活动的本质，严重束缚了学生的数学直觉和数学猜想，不利于创造型人才的培养。因此，波利亚在自己的教学过程中，历来强调展现“数学的发现可能是如何产生”的过程。他指出：“数学可以被看做一门证实的科学，但这只是数学的一个方面，完成了教学理论，用最终形式表现出来，像是仅仅由证实构成的纯粹证实似的。”但是，数学知识的创造需要猜想，在一个定理被证明成立之前，往往要通过猜想发现这个定理的内容，并不断检验、修改、完善所提出的猜想，还要推测证明的思路，这些都需要运用合情推理的方法。在教学中，如果通过论证推理可以培养学生的运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力和严谨的治学态度，那么通过合情推理就可以培养学生的创新思维能力、创新想象能力、创新实践能力、求异精神和冒险精神，即培养学生的创新能力和创新精神。因此，波利亚建议：“只要我们能承认数学创造过程中需要合情推理，需要猜想的话，数学教学中就必须有猜想的地位，必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试。”
　　怎样教猜想？怎样教合情推理？没有十拿九稳的方法。波利亚说，教学中最重要的就是选取一些典型教学结论的创造过程，分析其发现动机和合情推理，然后在让学生模仿范例去独立实践，在实践中发展合情推理能力。波利亚指出,在具体的教学中，教师要选择典型的问题，创设情境，让学生饶有兴趣地、自觉地去试验、观察，得到猜想。还要充分发挥班级教学的优势，鼓励学生之间相互讨论和启发，教师只在学生受阻时给些方向性的提示，不能把学生赶上事先预备好的道路，这样学生才能体验到猜想发现的乐趣，才能真正掌握合情推理，提高思考问题、解决问题的能力。合情推理是创新的萌芽，它不仅是一种重要的推理形式，更是解决问题的一种方法。合情推理对于发展学生的创造性思维有着无法估量的作用。
　　总之，探索意识是学习的起点，又是学习的归宿。通过探索发现，对数学对象的本质所洞察，有所概括，这样就形成了更高层次的探索与发现，从而又可以进行更高层次的创造性思维活动。但是学生探索意识的培养有赖于教师的教学方式，如果教师在教学中努力进行“探索与发现”的设计和启发，那么就会使学生有意识地进行“探索与发现”的思考，潜移默化地培养起学生的探索意识和创造性思维。
　　2.3借助“解题理论”，开发学生的数学元认知。
　　数学元认知是指解题者对于所从事的解题活动（包括解题策略的选择、整个过程的组织、目前所从事的工作在整个解题过程中的作用等）的自我意识、自我分析（包括评估）和自我调整。波利亚“怎样解题”表中的大量提示性问题，不是问别人，而是问自己，实质是解题者的自我诘问、自我反省，是元认知。“弄清题意”是对自己思维趋向的提示，是地道的元认知活动；“拟订计划”是解题的中心环节，波利亚试图用一系列提示语来诱发一个“好念头”，这一系列的提示语在拟订计划的过程中起着统摄作用，统领着解题者的解题思路，循着这些元认知的提示，解题者一步步地向目标靠近；“实现计划”也是元认知活动；“回顾”是培养解题者的题感，是一种解题的元认知体验。可见，波利亚的“解题表”本身就是一个完整的数学元认知。一方面，教师通过比较自然的帮助，促使学生自己想出一个好念头，学生得到的是比任何具体的数学知识更重要的东西――元认知知识。另一方面，学习者运用波利亚的提示语，不仅能够有效地提高解题能力，发展智力，而且能通过自己的体验和体会，逐渐养成良好的学习习惯，并迁移到其他的认知活动中去，提高自己各方面的素质和能力。
　　2.4利用波利亚解题思想，推动数学素质教育［6］。
　　徐利治先生曾倡导：“我们要培养和造就一批波利亚型的数学工作者，要按照波利亚的思想改革数学教材和教法。”这为数学教育改革提供了理论依据。因此，用波利亚的解题思想指导教学实践，无疑会大力推动数学素质教育。
　　2.4.1波利亚的解题思想为数学解题教学提供方法论。
　　从根本上来说，数学教育改革的关键在于教师的观念、决心和业务水平。数学素质教育的目标是提高学生的数学素质，其先决条件是转变教学模式，使广大数学教师从题海中解脱出来。波利亚强调，解题训练的目的是引导学生开展智力活动，提高数学才能。波利亚反对让学生做大量的题，他认为，“一个教师，如果把分配给他的时间塞满了例行运算来训练他的学生，他就扼杀了学生的兴趣，妨碍了他们的智力发展”。因此，他主张与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题目，还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各个侧面，使学生在这道题目的过程中，如同通过一道大门进入一个崭新的天地。
　　过去，国内外有关学习数学的著作和习题集基本上偏重于解决个别类型的问题，例如算术问题、几何问题、代数问题等，但很少涉及解题的一般方法。而波利亚的《怎样解题》弥补了这一空白，他给出了求解数学问题的一般方法。“怎样解题”表中的指导性意见，具有普遍使用性，不仅适用于“不太独立工作”的人，而且适用于那些能独立解题的人；不仅适用于数学学科，而且适用于其他学科。
　　波利亚解题训练的方式是引导学生按照“怎样解题”表中的问题和建议思考问题，探索解题途径，试图引导学生逐步掌握解题过程的一般规律，这与传统的题海战术的解题训练方式是截然不同的。
　　波利亚解题思想与题海战术的比较［7］
　　波利亚解题思想与题海战术有着本质区别，前者堪称为解题教学的行动纲领。数学教育工作者应深刻领会波利亚的解题思想，从一个全新的角度审视解题教学的目标、内容和方法，特别是教学观念的转变势在必得。大搞题海战术，反复的搞模拟考试的做法必须改变，这是与波利亚解题思想与数学素质教育背道而驰的。
　　2.4.2波利亚解题思想为中学数学思想方法的教学提供理论模式。
　　数学素质教育强调数学思想方法的教学。早在20世纪40年代，波利亚就尝试着把“数学方法论”应用于数学教学，他的成功实践为中学数学思想方法的教学提供了理论模式。波利亚观为，解题的过程就是不断变更问题、诱发灵感的过程，就中学数学而言，解题就是要不断创设问题情境，激发学生的灵感思维。如何发觉灵感，波利亚解题思想具体指明了对于数学解题活动有着重要启示作用的思维模式或解题策略：笛卡尔模式、递归模式、迭加模式、合情推理模式、分解和组合、一般和特殊化、画图法、考虑相关问题、变更问题等。中学数学中主要的数学思想方法有：函数和方程思想、转化和化归、综合和分析、归纳和类比、演绎和特殊化、数形结合、分类讨论等与波利亚的解题思维模式或解题策略如出一辙。需要指出的是，波利亚解题思想所呈现的模式并不一定以明显的方式呈现于数学教材，在多数情况下隐含于数学知识和解题过程中，需要教师提炼和概括。
　　3.结语
　　波利亚的“怎样解题”理论启示我们：数学教育应着眼于探索创造，强调获取知识的过程与方法，它的根本意义在于培养学生的数学素质，既培养他们良好的思维习惯，使他们学会学习的技巧，领会数学的精神实质和基本结构，又提供给用于其他学科的推理方法，体现一种“变化导向的教育观”。
　　
　　参考文献：
　　［1］波利亚著.涂泓，冯承天译.怎样解题［M］.上海：上海科技教育出版社，2002.
　　［2］鞠益华.浅谈数学解题习惯的培养［J］.教育研究，2008，（11）：19-20.
　　［3］杜健，肖鸿民.乔治・波利亚的数学启发法思想对我国数学教育改革的启示［J］.西北师范大学学报，1999，（3）：98-102.
　　［4］谭绍锋.波利亚的合情推理与高中数学新课程教学［J］.数学教学与研究，2008，（9）：30-31.
　　［5］沈南山.借助波利亚解题思想，促进数学素质教育［J］.中学数学，2000，（10）：8-10.
　　［6］刘云章.波利亚的解题训练与题海战术的辨析［J］.中学数学教学参考，2001，（8）：1-3.
　　
　　（作者系西北师范大学教育学院硕士研究生）

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