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“杨辉三角”的历史轨迹及启示

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   编者按 学习二项式定理时,很多同学往往陷入二项式的展开等问题的繁杂计算中,觉得颇为枯燥乏味,殊不知,二项式定理除了有着高度的对称美、与组合数学相关之外,还与解高次方程、概率论、微积分等有着密切的联系.本文从这几个方面向你开启“二项式定理”的历史大门,一个个与之有关的故事,演绎着数学的精彩,希望能引发你学习本段内容的学习兴趣,从中领略些许数学文化的博大精深、美丽芬芳.�
中国论文网 http://www.xzbu.com/9/view-2315687.htm
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  “二项式定理”是人类文明史上的一朵奇葩,很多民族、众多数学家为了她的发芽、生长、成熟,为了使她更加茁壮、更加瑰丽,献出了辛勤汗水和聪明才智.让我们进行一次从“贾宪三角”到“牛顿二项式定理”的历史旅游,在旅途中作些欣赏、品味和思考.�
  
  一、 “贾宪三角”与“开方作法�本源”� �
  目前所见到的最早出现的“贾宪三角”载于杨辉《详解九章算术》(1261年),见于现存《永乐大典》卷16��344(藏于英国剑桥大学),叫作“开方作法本源”(图见苏教版教材《选修23》�P�37).根据杨辉的自注,这个三角形并不是杨辉发明的,因为他在《详解九章算术》中表述其“出《释锁算书》,贾宪用此术”.根据我国著名数学史家梁宗巨考证,贾宪著书大约在1023年~1050年之间.杨辉之后,朱世杰在其《四元玉鉴》(1303年)卷首也有同样的图,名为“古法七乘方图”.�
  这一三角形的用途主要是开方,或者说解形如�x�n-A=0�的高次方程.先估计出x的首位数a,并设�x=x�1+a,则(x�1+a)�n=A.�
  然后再求x�1.而要想求出x�1,就要把��(x�1+a)�n��展开,此时要用贾宪三角.下面以求�x�3=1��728�的正根为例加以说明:�
  “实”即为1��728,由其是四位数可知其立方根在10~100之间,并由其大于10�3且小于20�3知其立方根的十位数字为1,故可设�x=10+b,于是有(10+b)�3=1��728,�按贾宪三角的第4行(1, 3, 3, 1),据“左袤乃积数,右袤乃隅算,中藏者皆廉”有�10�3+3・10�2b+�3・10�b�2+b�3=1��782,�再以“以廉乘商方,命实而除之”有��300b+�30b�2+b�3=1��728-�1��000�, 300b+30b�2+b�3=728.�估第二位商,须有�b�3=8,所以b=2.再用“以廉乘商方,命实而除之”显然有728-(300・2+�30・2�2�+2�3)=0,�所以12是1��728的立方根.�
  贾宪增乘开方法是一个非常有效和高度机械化的算法,可适用于任意高次方.这种随乘随加、能反复迭代计算减根变换方程各项系数的方法与现代通用的“霍纳算法(1819年)已基本一致.�
  后来,数学家刘益(约12世纪)在《议古根源》中研究了首项系数可正可负、次数可以是任意的二项方程,他的研究成果可以说是解数字方程方面的重大突破.在贾宪、刘益工作的基础上,秦九韶在《数书九章》中把增乘开方法推广成为任意高次方程的数值解法,使得中国在这方面的成就在世界数学的百花园中大放异彩.�
  古代阿拉伯和日本也都分别发现了这个三角形.1020年前后活跃于巴格达的凯拉吉(�al�Karaji�)写了一本代数学著作,其中就给出了�(a+b)�3, (a+b)�4�的展开式.这是阿拉伯国家对此的最早记载,在时间上和中国的贾宪大约同时.日本的村井中渐(1708~1797)在其《算法童子问》(1781年)中载有与贾宪三角非常类似的三角形,专家认为其明显受到朱世杰的《四元玉鉴》的影响.另外,有印度学者认为,印度数学家约在公元前200年的书中已给出了这个三角的构造方法,但另有学者对此持怀疑态度,一般认为可信度不高.�
  
  帕斯卡�
  
  在西方亦有许多人知道甚至列出这一数字三角,如施蒂费尔(�M. Stifel�, 1481~1567)、塔尔塔利亚(�N. Tartaglia�, 1499~1557)等,近年来,发现早在13世纪初已经在未出版的手抄本中出现了这种三角(约丹努斯(�Jordanus de Nemore�)大约在1220年的《算术》).其中贡献最大的应当是法国数学家帕斯卡(�B. Pascal�, 1623~1662),他不仅发现了这个数字三角,而且最先用数学归纳法证明结论的一般形式(以组合数给出的公式).那么,帕斯卡又是怎样得到这一发现的呢?�
  
  二、 “帕斯卡三角”与概率论�
  
  1654年,一个著名的赌徒向帕斯卡提出了一个问题:两个技巧相当的赌徒对局,在没有结束规定的局数时遇到特殊情况,需要立即终止,其中甲只要再胜两局即可赢得所有赌注,而乙则需再胜三局才能赢得所有赌注.问应该如何分配赌注?有人认为应该按3∶2的比例进行分配,你觉得合理吗?我们在《必修3》中曾经运用费马的方法解决了这个问题:通过列出所有可能结果(共16种)得到了结果(11∶5).而帕斯卡则利用了他称为“算术三角形”的数阵(见下图,转个观察角度可以发现,其实就是一个杨辉三角,每条对角线上数就是二项展开式逐项的系数,帕斯卡还用组合数意义对其进行了解释)一般性地解决了这个问题:在一般情况下,如果甲需要m点取胜,乙需要n点取胜,那么就可以选择第m+n条对角线,并求出这条对角线上前n个元素的和α与后m个元素的和β,赌注在按α:β之比来分配.于是,一门新的数学分支――概率论诞生了!后来,数学家雅可布・伯努利将其推广到了两个水平不同,获胜机会不均等的情形,而结果与二项式定理又有着结构上的惊人的相似:如果甲获胜的概率为p,乙获胜的概率为�r(p+r=1),�则甲在n局中能够胜r局的概率为��C���n-r��np�r(1-p)��n-r�.�这就是教材中介绍的“二项分布”.伯努利还创造性地运用杨辉三角给出了计算前n个正整数的正整数次幂和的新方法.前者是现代概率论的基础,后者则是“差分”法的先驱.�
  
  感兴趣的同学可以做一个简单的试
  
  验,制作一个形如右图的通道及下方相互隔离的储槽,从上方放入一些小球,观察落入储槽内的小球的分布情况.�
  多次重复上述试验,你可以发现规律:都是中间的储槽中小球多,越往两边的槽中的小球就越少.这是什么原因呢?�
  请你再做一下简单的研究工作:对于每个槽口,把可能到达该位置的不同路线的条数数出来,并尽可能探索“如何更简单地数出到每个位置的不同路线的条数”,同时请研究:与杨辉三角有何关系?(参见苏教版高中数学《必修3》�P�109“阅读”)�
  
  有人运用上述性质设计了一个有奖竞猜的游戏(如图),请你计算一下:如果要求中奖的概率不高于25�%�,此图中的中奖区域最多只能有几格(从边上开起)?�
  
  三、 “牛顿二项式”与“逼近级数法”�
  1715年牛顿这样回忆往事:“在1665年初,我找到了逼近级数法和把任意二项式的任意次幂化成这样的级数的规则……”这里牛顿所回忆的是其在用级数研究圆的面积问题时所作的发现:他在沃利斯研究0~1上曲线�y=(1-x�2)�n�与x轴围成的图形的面积的基础上向更一般的情况作了拓展,并发现:
  � ∫�x��0�(1-x�2)�0�d�x=x,�
   ∫�x��0�(1-x�2)�1�d�x=x-�13�x�3,�
   ∫�x��0�(1-x�2)�2�d�x=x-�23�x�3+�15�x�5,��


   �∫�x��0�(1-x�2)�3�d�x=x-�33�x�3+�35�x�5-�17�x�7,
  �
  
   ∫�x��0�(1-x�2)�4�d�x=x-�43�x�3+�65�x�5-�47�x�7+�19�x�9.��
  牛顿然后列出了x不同次幂的系数:
  �
  �n=0��n=1��n=2��n=3��n=4�…乘以
  11111…x
  01234…-�13�x�3
  00136…�15�x�5
  00014…-�17�x�7
  00001…�19�x�9�
  牛顿惊奇地发现了这里存在着杨辉三角,你能看得出来吗?�
  
  可惜的是这里的各列上对应的n均为正整数,而为了求得圆的面积,我们需要这里的n对应着�12�的列的数
  
  牛顿�
  值.为了找到这些值,牛顿重新发现了适用于正整数值n的杨辉三角的计算公式(与帕斯卡的公式是一致的),并决定即使当n不是正整数时也使用这个公式,由此得到了推广了的二项式定理.牛顿还运用这个“牛顿二项式定理”处理了许多有趣的级数,比如,他由此推出了反正弦函数��y=�arcsi�n���x���的幂级数展开式及正弦函数的幂级数展开式:�
  ��arcsin���x=x+�16�x�3+340x�5+5112x�7+…,�
  ��sin���x=x-�16�x�3+1120x�5-15��040x�7+….�
  四、 “杨辉三角”的历史轨迹闪耀着数学家们智慧的光芒�
  我们沿着“贾宪三角”到“牛顿二项式定理”的历史轨迹走来,在这条轨迹上大量中外数学家的思想火花熠熠生辉.�
  贾宪、杨辉等中国数学家根据解决实际问题时产生的求正整数方根的需要,运用归纳的思想进行探索,运用递推的思想将特殊推向一般,运用算法思想构建了解决一类问题的数学模型.这些,在数学史上都留下了不朽的辉煌,永远闪耀在数学的璀灿的星空.�
  帕斯卡的一般化、模型化的思想在丰富组合数学的内容的同时,催生了新的数学分支,使得对随机现象中的规律性的研究获得了科学的工具,从而使数学的观念、认识世界的方式产生了巨大的影响.�
  伟大的牛顿再一次将二项式定理推向更一般的情形,而这种推广是那样的大胆,充分体现了科学巨人的思想的宏大与精深.也正由于此,其在科学发现、发明上的创新意义才显得更为宝贵而富有价值.�
  数学家们在研究不同的问题时不约而同地在“杨辉三角形”处相遇了!于是,数学的天空中高悬一道名曰“杨辉三角形”的美丽的彩虹,代数学、概率论、差分、数学分�析……�就是这道彩虹的赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七彩华色.在此你是否感受到数学的内在的统一、联系和数学的神奇、优美与优雅?�
  如果对数学有兴趣的话,请进入数学大花园的深处,去领略数学世界的美妙与绚丽.�
  愿同学们站在前辈们的肩膀上极目远望,向着世界、向着天空、向着未来!


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