数列极限的求法

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　　【摘 要】数列的极限是高等数学的一个基本概念，是由初等数学向高等数学过渡的关键内容,它是数学由具体到抽象、由有限到无限的桥梁，是微分学的基础。高等数学中极限概念是一个难于理解而不易掌握的一个概念，其对后续课程的学习有重要的影响。数列极限的求法很多，本文从定义、定理及相关的知识领域，加以总结整理，具体问题灵活使用。
　　【关键词】数列极限 高等数学 极限求法
　　（一）利用定义
　　设{}是一个数列，是一个确定的数，若对任何的正数ε，总存在一个自然数，使得时，都有
　　则称数列{}收敛于，称为它的极限并记作，或记作（）
　　例1 证明，这里为正常数.
　　证 由于
　　所以对于任给的正数，只要取，则当时，便有＜，因此
　　例2 证明，其中＞1.
　　证 令，则，仍由伯努利不等式可推得
　　或
　　现任给正数，当时，就有
　　即
　　（二）利用迫敛性定理求极限
　　定理 设若存在某自然数
　　则
　　例1 求数列}的极限
　　解 当时时，记，则有
　　或
　　于是有
　　因收敛于0
　　于是左右两端的极限都是1
　　故}的极限是1
　　（三）利用有界的单调数列求极限
　　定理 有界的单调数列都有极限
　　例1 证明数列
　　单调有界，并求其极限
　　证令，显然数列单调递增，用数学归纳法证明有界
　　因，假设，则有
　　即数列是有界的，故数列有极限，记为，由于
　　利用四则运算得
　　解得(-1舍去)
　　所以
　　（四）利用函数及归结原则求极限
　　对于一个数列，如果存在一个相关联的的函数（n与实数x相关联），可以利用函数的极限及数学中的归结原则来判断及求数列的极限。
　　（五）利用级数收敛的必要条件求数列极限
　　（级数收敛的必要条件是通项极限等于0）
　　利用比式判别法
　　==0<1
　　故
　　（六）用定积分求数列极限
　　极限是数学分析的一个重要概念，若有数列是某个可积函数特殊的一列积分和，那么计算此数列的极限可以转化为计算定积分，这是计算这类数列极限的一个简便、有效方法。
　　例
　　（1）式是函数f(x)=在区间［0,1］上的一个积分和，它是把［0，1］分成n等份,
　　取[]的左端点即（）构成的积分和，由定积分定义可得
　　（七）用数列 的四则运算及重要极限求极限
　　利用已知或简单易求的数列极限，通过四则运算求一些复杂数列的极限，是一种常用的方法。
　　=3·1=3
　　（八）利用stolz定理及推论求数列极限
　　Stolz定理 设有两个数列，满足
　　
　　参考文献
　　[1] 华东师范大学数学系编《数学分析》人民教育出版社 1980.9
　　[2] 李俊杰Stolz定理的推广[J]．数学通讯．1981(3)；22.
　　[3] 吉米多维奇BⅡ．数学分析习题集[M]．李荣冻译．北京；人民教育出版社．1958:59.
　　[4] 费定珲数学分析习题集题解[M] 济南：山东科技出版社．1980．346.
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