透析“点差法”

来源:用户上传      作者: 杨凤萍

　　所谓“点差法”是设圆锥曲线上的点的坐标，然后代入圆锥曲线方程，再作差。这种方法可速解以下三个重要题型。
　　题型1：已知弦中点坐标，求弦所在的直线方程
　　例1.设中心在原点，焦点x在轴上，且离心率为的椭圆与直线l交与A，B两点，且A，B两点的中点M（1，2）为，求直线l的方程.
　　解：由椭圆的离心率e=可设椭圆方程为x2+2y2=2b2
　　设直线l与椭圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程得x12+2y12=2b2
　　x22+2y22=2b2
　　两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0
　　∴kAB==，又A，B中点为M（2，1）
　　∴=2 =1 ∴kAB=-1
　　∴l的方程为y-1=-（x-2） 即x+y-3=0
　　题型2：已知弦所在的直线的斜率，求弦中点的轨迹方程
　　例2.已知倾斜角为的直线交椭圆+y2=1与A，B两点，求线段AB中点M的轨迹方程.
　　解：设A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程得x12+4y12=4
　　x22+4y22=4
　　两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0
　　因直线AB的倾斜角为，∴kAB=1
　　∴kAB==-=1
　　设AB的中点M（x，y），则x=，y=
　　代入上式得-=1，∴x+4y=0（椭圆内部的部分）
　　题型3：已知弦所在的直线的斜率和弦中点的坐标，求圆锥曲线的方程
　　例3.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上且它的一条弦
　　所在的直线方程为y=2x+5，弦中点的横坐标为-3，求此抛物线的标准方程.
　　解：设弦中点M（-3，y），代入直线方程为y=2x+5得y=2×（-3）+5=-1，即M（-3，-1）设抛物线的标准方程为y2=ax，设直线与抛物线交点为A（x1，y1），B（x2，y2）则=2，y1+y2=-2，y12=ax1，y22=ax2.
　　两式相减得（y1-y2）（y1+y2）=a（x1-x2），∴a=（y1+y2）=2×（-2）=
　　-4，y2=-4x.
　　总评：“点差法”解决的几个题型充分体现了“设而不求”的思想，使得复杂问题简单化。
　　（作者单位 河南省信阳市新县高级中学）
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