Clifford分析在偏微分方程中的应用
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摘要：Clifford是基于高维空间中代数理论与几何结构所创设的一种几何代数，是一种能够结合但不能够交换的代数结构，是外代数、四元数以及复数的推广。文章首先阐述了非线性偏微分方程（PDE）解的存在性定理，并通过实例说明在偏微分方程中构造Clifford分析的方法，进一步阐述了多Clifford分析的相关理论及其应用方法，总结了Clifford分析在解决高维空间领域非线性偏微分方程（PDE）问题的一般方法。
关键词：Clifford分析；偏微分方程；应用
Clifford又可称为几何代数，目前在几何与物理领域中都有应用。在当前数学研究的主流课题中，非交换数学一直是重点，而Clifford分析可以说是非交换领域中单复变全纯函数理论的推广，其在量子物理、微分几何、代数几何以及偏微分方程中皆有应用。但是在偏微分方程（PDE）之中，Clifford的应用多集中于具体方程解的表达式和存在性，而在解决高维空间领域高阶非线性偏微分方程问题方面却少有建树。本文将运用Clifford分析法将偏微分方程解之局部存在性理论（下面简称为N-W定理）向高维推广，在高维空间中建立非线性偏微分方程的整体可解性和局部可解性。
一、 PDE解的存在性定理
1957年，学者Lewy[M]提出了即使是一般的线性PDE，其可能没有局部解。这一理论的提出，使得PDE解本身的局部存在性成为偏微分方程领域中最为基本的研究问题，早期著名的研究者包括Nirenberg-Treves、Lemer、 Decker、Beals-Fefferman等。直至Nijenhuis-Woolf提出并证实了殆复流形上J-H曲线局部存在性的理论，从本质上研究了在复平面中一阶非线性PDE的局部可解性问题，但是这一定理由一阶线性PDE向高阶推广，经历了漫长的时间，直至2011年才算完成。
目前有学者已经证实了PDE的可解性，但这一结果并未全部推广至微分方程组，而且对于非线性偏微分方程组，这一局部可解性问题就显得更为复杂。本文将以下列方程组A为例，探讨其可解性。
这里的D是Clifford代数R0，n之中的Dirac算子，且D为其共轭算子，u为Rn+1域中（有定义）Clifford值函数，a为给定的（光滑）Clifford值函数，μ+v=m。
首先分析Teodorescu（简称为T）算子的有界性问题，T算子为Dirac算子（D）的右逆算子，作为处理Cauchy-Riemann（C-R）这类方程的基础。本文主要探讨了以下T算子的有界性问题，其结果在证实非线性PDE方程解本身的存在性定理之中起着决定作用。
T算子是将D算子的基本解作为核函数的一种积分算子，也常常称之为D算子体积位势。下面我们将利用T算子一阶微分表达式来作如下证明：在H0der空间，T算子为D算子的右逆算子。从共轭算子D为例，考虑其右逆算子T，
三、小结
本文立足于建立起高维空间中不同阶C-R型非线性PDE的整体可解性和局部可解性。虽然已有学者已经研究得出了多四元数以及多Clifford分析中低维C-R方程组应满足的相容性条件，也有学者通过代数几何方法，深入探讨了多四元数分析，并且给出C-F复形的主要构造。但是上述方法仍然存在一定局限性，因为该方法凭借的相容性条件要利用C-F复形之中第三个算子，但是第三个算子只在低维情况下才容易算出，而一般情形下很难被找出，因此并不能得到非齐次C-F方程解的表达式。本文探索的方向是应用代数几何方法，将多复变方法带到多Clifford分析以及多四元数理论之中。以上研究和结果证明了该种方法既是基础，也是直接的。首先通过Pertici引入和给出多四元数条件下非齐次C-R方程相容性条件，实际上就是积分条件，与通过一般代数几何方法获得的相容性条件是有区别的。从整体上看，该方法能够方便直接得到非齐次C-R方程存在紧支集解的有关相容条件，并且无须借助第三个算子。T算子为Dirac算子（D）的右逆算子，通过分析Teodorescu（简称为T）算子的有界性问题，能够进一步处理Cauchy-Riemann（C-R）这类方程。本次研究利用Clifford分析将Nijenhuis-Woolf定理由复平面向高维推广，希望能够为广大研究者提供一些参考和方法借鉴。
参考文献：
[1]张彬林.变指数Clifford值函数空间及其应用[D].哈尔滨工业大学，2013.
[2]王海燕. Clifford分析在偏微分方程中的应用[D].中国科学技术大学，2014.
[3]李婧.复Clifford分析中Isotonic函数的性质及其边值问题[D].河北师范大学，2010.
[4]张坤.Clifford分析中全纯Cliffordian函数的性质及其边值问题[D].河北师范大学，2010.
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