数学建模思想在高等数学中的应用探讨

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　　摘 要：数学教学的根本目的是培养学生逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力，新教学模式越来越重视教学与实践的结合。随着数学建模思想的广泛应用，更多高校逐渐将数学建模教育应用于高等数学教学中。本文将简要分析数学建模的方法和过程，并结合实例分析建模思想在高等数学中的应用。
　　关键词：数学建模 高等数学 应用教学
　　近年来的高校扩招使得同一层次的学生之间存在较大的基础差异，尤其是数学基础，部分学生接触到数学基础课程《高等数学》表现出一定的难度，针对这种问题，高等数学教学也在频繁进行教学改革，并以理论知识和实践相结合的方式进行高等数学知识的普及，尤其是数学建模比赛，这种方式帮助学生提高对高等数学的理解能力和积极性，是未来高等数学教育的发展方向。
　　一、数学建模的方法与过程
　　数学建模思想事实上是为了使学生所学的知识更加具有实际应用价值，帮助学生运用理论知识构建一个依附于实际的假设，探索其与现实事件之间存在的联系和发展规律，从而结合该假设模型去解决实际问题。
　　数学建模方法包含两种类型：第一种是类比原理的方法，该方法是构建有具体物理背景或发展规律的模型，并结合实际来对其进行分析研究，探索其真实存在的逻辑关系，得出其内部相关演变原理。第二种是不明确发展规律的模型，我们首先需要将所构建的模型类比为一个“黑箱”，尽可能利用测量手段获取具有一定规律的实验数据，再结合计算机技术或统计的方法对这些实验数据进行分析整理，并对模型进行相贴合的修改，从而使模型更接近于研究对象，利用这种系统辨识的方式解决实际问题，并得出其他演变参数。
　　数学建模的过程如下：（1）分析问题和研究对象;（2）构建模型假设;（3）参数及符号说明;（4）数据分析处理;（5）研究分析模型;（6）评价模型效果;（7）模型改进与推广等。所构建的数学模型可以进行分类：按照研究对象与方法的差异可将其分为逻辑模型、几何模型、图论模型、微分方程模型等。按照研究对象的种类可将其分为生态模型、交通模型、环境模型、社会模型、经济模型等。
　　二、数学建模思想在高等数学中的应用
　　1.在理论教学中的应用
　　数学建模思想产生于其与实际客观发展规律的联系，即高等数学中理论知识与实际发展规律的结合，一個数学概念的产生过程多需要经过漫长的研究验证，最终才能应用到高等数学教学中，也就是说，数学概念的产生过程与实际不可分割，且目的是解决实际问题。数学建模思想更是极大地提现了这一属性，将其应用于理论教学中，以概念具象化的方式激起学生对高等数学的积极性和学习兴趣，使学生更易于接受理论知识。具体到高等数学的教学中，函数、极限、导数、微分、积分、向量、级数等均是高等数学中极具代表性的高频概念。对于这些概念相关的理论知识讲解，教师应该引入建模思想，列举适当的数学模型来加深学生对这些概念的理解。
　　例如，关于导数的学习，教师可以结合物理问题列举变速直线运动求瞬时速度的数学模型，或者求切线斜率问题的几何模型，从而使学生理解导数与变化率之间的联系，以此为依据使学生掌握导数概念的含义，从而结合导数的定义解决一些实际问题;关于定积分概念的学习，教师可以结合求曲边梯形面积列举几何模型，或者结合求变力做功的物理问题列举物理模型，引导学生发现定积分“化整为零”思想，将定积分的求解分化成“分割、近似、求和、取极限”四个步骤，从而解决问题。
　　2.在实际问题中的应用
　　数学模型的建立更在于提高学生解决实际问题的能力，因此解决实际问题时构建数学模型的应用更为广泛且更为重要。学生在解决高等数学问题时，应尽可能回顾教学过程中与生活实际相类似的数学模型，仔细发现其中的规律，从而将研究对象与数学模型相结合，进行问题的分析和处理，提炼出有效数据信息，深化模型发展变化，以便更好地解决问题。
　　实际数学建模思想应用类型很多，主要列举如下两个问题进行应用分析：
　　第一类是最值问题。对于导数的研究，函数的单调性、极值、最值和凹凸性与拐点是最常见的研究对象，研究方法也存在很多共同点，学生应当在长时间的教学和练习过程中善于进行归纳总结，得出有关最值求法的主要解题步骤，并结合数学建模思想为主要解题步骤增加一些延伸问题来进行更深层次的研究，以打开个人思维，积累解决问题的经验，并多加练习，使自己熟练掌握以数学建模为指导思想的最值问题解法。
　　第二类是微分方程问题。微分方程在高等数学中主要以计算问题为主，相应的理论知识也是针对多种典型的微分方程示例进行求解。而微分方程在解决实际问题上应用非常广泛，典型的微分方程也只是实际问题的一部分。学生应该结合微分方程示例总结出通用的解题过程，首先分析方程中存在的显性变量，并结合具体方程研究这些变量之间的逻辑关系，其次结合数学乃至其他学科如物理、化学、生物等的相关知识建立相应的微分方程，结合微分方程中的初始条件分析如何进行求解并得出最终计算结果，最后应用高等数学中的建模思想及其他理论知识进行结果分析和验证。
　　总的来讲，数学建模思想的应用具有较多优势，但也存在一定的局限性，只有理论知识或研究对象之间的逻辑关系与之前学习归纳总结的方法存在相同之处甚至有很大联系时，才能发挥数学建模思想的最大应用价值。
　　结语
　　应用数学建模思想既能够激发学生的学习高等数学的积极性，也能够培养学生分析问题的能力，对于高等数学不断改革的今天，高校更应重视数学建模思想的应用，将数学建模思想融入到教育教学中，引导学生善于总结归纳，运用数学建模思想解决实际问题。同时多举办一些数学建模大赛或是学术交流会，鼓励学生相互学习数学建模思想，全面提升学生的综合素质，保证为社会输送更多优质人才。
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