导数教学的几点体会
来源:用户上传
作者:
摘 要 导数是微积分的核心内容，教师在课堂教学中规范引入概念，说明法则，明确学习意义，能很好的衔接知识，提高解实际问题能力。
关键词 导数 切线 求导法则 导数的应用
中图分类号：G633 文献标识码：A
导数是微积分教学内容中的核心概念，导数教学不仅要使学生掌握微分的知识和技能，加深对初等数学内容的理解，还要使学生通过研究一系列生产实际问题和科技问题，掌握这种有效处理问题的基本思想和方法，充分发展智力和才能.
在导数教学中对以下几个关系的正确理解，将对导数的本质理解和掌握有着极其重要的作用。
1导数概念问题
导数概念的教学，首先应该从学生已熟悉的圆的切线开始引入。在初等数学中，把圆的切线定义为与圆有唯一交点的直线，如果仍拿这种思想去定义任意曲线的切线，就会出现下列问题：
对于函数=2它与y轴有唯一的交点（0，0），但是我们认为y不是它的切线。
对于函数=32它与X轴交于两点（0，0），（0，1）， 但我们认为X轴是曲线相切于原点的一条切线。
因此，规范定义，我们把曲线上M点的切线定义为：过曲线的M、N两点作割线，当点N沿曲线移动趋近于点M时，割线MN的极限位置MT就叫做曲线上点M的切线。进而把切线的求法与极限联系起来。
在学生掌握导数定义以后，应该着重向学生指明下列三点：
（1）函数=（）在给定点=的导数存在时，它应当是一个完全确定的数;如果函数在定义域上的每个点都有导數，那么它的导数就是一个新的函数，因此仍然能求它的导数，而这个导数称为原函数的二阶导数，它还可称作导数的一阶导数。这种关系要使学生熟悉。它对于将来研究函数的极值问题以及曲线凹凸性的问题，都有极其重要的意义。
（2）如果函数=（）在某一点=上有导数，那么函数在这点上是连续的，但是反过来，函数在这点上连续，却不一定在这一点处有导数。可举=||在=0点连续但不可导作为例子说明。
（3）导数的含义虽然因研究的具体问题所表示函数的不同而不同。例如函数表示路程和时间的关系时，导数就是速度;函数表示质量与长度的关系时，导数就是密度;在经济学中，导数就是边际函数;函数表示某条曲线时，导数就是曲线上点的切线的斜率。但是函数求导数的方法却是相同的。
2求导法则的证明问题
（1）关于复合函数导数公式的证明，一般都是采用取极限的方法解决的。但是这个证明是不严密的。这个证明没有考虑到=0时的情形。虽然存在证明上的这种缺陷，但复合函数的导数公式依然成立。在推导过程中，这个缺陷是可以避免的。因为复合函数导数公式是（）点有导数，而函数在点也有导数的条件下成立的。
（2）必须让学生知道反函=-1（）数的导数存在条件是原函数=（）是（严格）单调且连续（即'（）不改变符号），'（）是存在且不为零的。
（3）反三角函数=，它的定义域为[-1，1]。它的导数'=定义域为（-1，1），定义域发生了改变。
（4）说明;。
在进行公式推导的教学中一定适当引导，注意发挥学生的主动性和创造性。
3导数应用的问题
我们知道导数是研究函数性质的有力工具，它可以依据中值定理给出求函数的单调区间、极值，曲线凹凸等方法。进而可以描绘函数的图形。教学中应该通过例题在描绘图形上给予一定的示范，然后让学生做一些综合性的练习，使学生通过绘图解决一些有关的应用问题。
例：根据常数的变化求三次方程3212=0的不同实根个数。
分析：因为方程3212=0的实根个数与函数=3212和=的图像交点个数相同。
所以可以先求出'=62612=6（+1）（2）的实根，然后分析这两个点是极值点，极大值点（-1，7），极小值点（2，-20）画图可得：
（1）当<-20或>7时有一个实根;
（2）当a=-20或=7时有两个不同的实根;
（3）当-20<<7时有三个不同的实根。
概念明确，方法也就清楚了。再加上教学中配合一定数量的例题、应用题的训练，学生学习是不会有困难的。最后，在教学中能及时向学生说明研究函数的导数的目的和意义，对于调动学生学习积极性是有好处的。事实上，学习微分法的目的就是采取什么样的方法去研究函数的变化状态更容易。从函数图像在点的邻近来看，它和该点的切线部分几乎是密不可分的。因此研究函数在点的邻近状态就可以用该点的切线状态来反映，从而把曲变为直，使问题简化。如果把点的切线斜率求出，切线方程就能够写出，从而也能够测出函数的曲线在点的临邻近变化状态。例如，物体运动的速度正是以该点上切线的向量来表示，这就可以测出在某时刻上物体运动的方向和速度变化的大小和变化状态，这样便把问题统一在研究函数在该点的导数上了。还有这部分的教学中，重点应该放在如何将实际应用题归结为数学问题上，这对于学生提高解决实际问题的能力，激发学习兴趣和积极性都会有好处。
转载注明来源:https://www.xzbu.com/1/view-15202282.htm
