针对一类抛物微分方程的解非存在性的方法

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  摘 要:对于一类(幂类非线性)抛物型偏微分方程,我们找到证明解非存在性的一种方法,并且把它扩展到n次偏微分方程上,与此同时,再用椭圆偏微分方程解的稳定条件,进一步限定这类抛物型偏微分方程解非存在性的条件。
  关键词:抛物型偏微分方程;非平凡弱解;Young不等式;穩定弱解
  1 绪论
  本文讨论了一种求非线性偏微分方程解和不等式的先验估计的方法。目的是应用这些估计来寻找可解性的必要条件。这种方法简单地基于测试函数和参数,涵盖了一类广泛的非线性问题,我们解决了解的不存在问题。
  近几年来,偏微分方程组和方程组的不存在定理得到了广泛的关注。关于这一主题有相当广泛的参考书目。对于拟线性抛物问题,请感兴趣的读者可以看文献[31],并参考文献[7,11,20,24]。这些贡献实际上包括抛物线演化问题的大多数主要参考书目来源。对于双曲线方程和系统,感兴趣的读者可以参考文献[10,16,17,18,19]。一些证明椭圆、抛物线和双曲线问题解不存在的方法大致是基于比较方法或相关能量泛函的研究。例如,请参阅文献[32]和其中的椭圆问题和引用非线性抛物线方程和双曲方程的文献[1,13,14,21,30]。
  对于具有特殊结构的演化问题[31],比较方法允许通过构造一个已知没有解的适当参考问题来证明全局解的不存在。类似的想法也可以用于固定的情况。我们将要描述的方法与比较原理或能量泛函没有直接关系,它基本上是基于在可能的解上找到最优的积分估计。简单地说,我们证明不存在的策略如下:首先,我们证明了一些合适的局部积分估计,然后,通过研究了这些估计相对于问题的渐近行为进一步估计成期望的参数。众所周知,这些思想在偏微分方程论中经常被使用,特别是当不知道解的可能行为的信息时,无论是在可能的奇点附近还是在无穷大(非线性Liou ville型定理),见文献[3,4,12,22,23]。
  如上所述,“右先验估计”的推导是基于检验函数的方法。在自然容许类中,测试函数的最优选择导致了由我们的问题引起的非线性容量。我们指的是与非线性微分方程相关的非线性容量的精确概念的文献[29]。对于不存在分析,只要找到这个容量的渐近性的第一项的最优估计就足够了。测试函数的选择取决于问题的非线性特性,取决于我们所处理的解的概念。特别是,对于固定的非线性问题,最优的不存在条件(例如“临界指数”)在不同的函数空间中可能是不同的。我们提出的方法具有以下优点:简单性、通用性和准确性。首先,所有的计算都很简单。事实上,不存在问题被归结为一组适当的代数不等式的分析。第二,由于我们不使用比较原理或能量泛函,我们可以研究一类广泛的非线性问题的不存在,包括高阶非线性双曲不等式。最后,在所有解决方案中,这些结果都是最优的。当然,通过改变这个类(在额外的假设下),这些结果中的一些可以改进。在这方面,比较文献[19]的结果。
  本文的我们主要关注幂类非线性,所提出的方法也可以应用于更一般非线性。是否可以使用一类方法对各种相关非线性问题抛物线(或双曲线)描述给定类型非线性(例如幂类非线性)的解的不存在条件。本文第一部分是我们研究了RN上的平稳非线性不等式解的不存在条件,第二部分是研究在椭圆微分方程稳定解的条件下抛物微分方程的解的不存在条件又是怎么样的。
  2 非平凡弱解
  这一部分是关于演化方程和不等式的研究。对于高阶问题也可以得到各种推广,见文献[24,27]。我们指出,我们的方法和其他已知方法的主要区别之一在于,对于半线性问题,我们不假定问题的解我们正在考虑的是非负的。我们的主要目标是证明问题解的局部积分估计,然后在弱解的定义中选择合适的测试函数为了获得一个最优的不存在的结果。显然,我们的测试函数现在将依赖于对我们的一些结果的证明的分析将呈现,表明我们没有对所涉及的微分算子的类型作出任何特殊的假设。
  这一事实使我们能够用同样的方法研究几类不同的不等式。作为一个例子,我们提到了典型的例子。
  又由于且由积分的收敛性,我们有,于是我们可以得到。于是u≡0。
  3 稳定弱解
  我们由文献[2,6,8,9,15]可知道椭圆偏微分方程的稳定解不存在的条件,我们可以尝试的利用椭偏微分方程的稳定性条件来更进一步加强抛物微分方程的解的条件。同样可以用文献[25,26,28]的方法来证明。
  所以,这与u>0矛盾,证毕。
  这里我们观察到当θ=1时是最优的情况,即要求N+1-2q+2γq-1<0才能满足(3.11)。
  于是当1+2N<q<1+2(1+γ)N-1时,我们没有稳定的非平凡弱解。
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  作者簡介:熊威(1994— ),男,汉族,湖南邵阳人,硕士,学生,研究方向:偏微分方程。
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