利用SOLO分类理论提高初一学生数学运算能力
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作者:汤俭 宋丽辉
【摘 要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出要注重对学生数学学习过程的评价，所以关注学生的数学学习过程，特别是初一学生的数学运算学习过程，就成为了教师教学过程中的重点任务。在教学时，教师只要利用SOLO分类理论对学生的数学运算结果进行分类，就能较精准地把握学生的运算能力层次，同时采用适合不同运算能力层次学生的教学策略，促进学生运算能力的全面提升。
【关键词】初中数学;SOLO分类理论;初一学生;运算能力
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2022）24-0027-03
《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，数学运算能力作为核心素养之一，是指学生理解算理并寻求简洁、高效的运算途径解决数学问
题[1]。怎样帮助学生提升数学运算能力呢？本文尝试从SOLO分类理论的角度，帮助学生找出自己的运算起点，理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得正确运算结果，以此进一步发展数学运算能力。
1 SOLO分类理论及其内涵
香港大学教育心理学教授比格斯认为，一个人的总体认知结构是一个纯理论性的概念，是不可检测的，而一个人回答某个问题时所表现出来的思维结构却是可以检测的，比格斯称之为“可观察的学习成果结构”，简写为SOLO。
根据SOLO分类评价法，比格斯把学生对某个问题的学习结果由低到高划分为五个层次：前结构层次、单点结构层次、多点结构层次、关联结构层次、拓展抽象结构层次。
由此可见，比格斯提出的思维分类结构是一个由简单到复杂的层次类型，具体说来就是从点、线、面、立体、系统的发展过程。思维结构越复杂，思维能力的层次也就越高，可见SOLO分类的焦点集中在学生回答问题的“质”，而不是回答问题的“量”[2]。
2 利用SOLO分类理论对初一学生的数学运算表现和发展水平进行分类
2.1 利用SOLO分理论对学生的运算表现和发展水平进行分类
既然SOLO分类理论能很好地反映出学生的思维表现，那么在提高学生的数学运算能力上怎么发挥积极作用呢？《义务教育数学课程标准（2022年版）》对运算能力的要求可以概括为正确、有据、合理、简洁这几个层次，这几个层次要求刚好与SOLO分类理论的层次要求一一对应。为此，本文利用SOLO分类理论，将运算能力分为以下5个层次水平（表1）。
2.2 以初一“有理数混合运算”为例说明运算能力水平的5个层次
初一的学习是为以后的学习打基础的，掌握各种运算方法，具备良好的运算能力，对学生今后学习代数式运算、函数运算等至关重要，基于此，本文就以初一数学运算知识为研究对象。
例：计算（-7）+3+（-3）+4。
单点结构层次（水平一）：
原式=4+（-3）+4
在该解答中，可以看出学生能够进行一次计算7-3，但不明白异号两数相加的算理，为了得到答案就急速收敛思维，不管结果对不对。
多点结构层次（水平二）：
原式=（-4）+（-3）+4
=（-7）+4
=-3
在该解答中，可以看出学生掌握了有理数加法的算理，能够按照从左至右的顺序进行计算，且计算结果正确，但不能发现加数之间的特征和联系，只是把每一个加数看成是互相孤立的数字，要进行3次计算，3次符号的判断算法死板，计算量大。
关联结构层次（水平三）：
原式=（-7）+（-3）+3+4
=（-10）+7
=-3
在该解答中，可以看出学生的思维没有急于收敛，注意到加数之间的联系，并利用加法交换律将其分类，减少了异号两数相加时符号判断的失误率，减少了计算量。
拓展抽象结构层次（水平四）：
原式=（-3）+3+（-7）+4
=（-7）+4
=-3
在该解答中，可以看出学生运用了加法交换律，也注意到了“互为相反数的两个数和为零”，只需进行2次计算、1次符号判断就可以完成运算，大大提高了正确率和效率。
3 利用SOLO分类理论加强对初一学生数学运算能力的培养
3.1 利用SOLO分类理论对学生的运算表现进行合理评价
使用SOLO分类理论对学生进行评价的过程中，教师会发现有些学生的运算结果正确，但是运算能力可能处于单点结构层次或者多点结构层次;而有些学生的运算结果不正确，反而其运算能力处于多点结构层次或者关联结构层次，这与教师平时只关注学生的运算结果有很大不同，因为SOLO分类理论更注重学生运算能力的层次，而不只是关注运算结果。对于那些运算能力处于相对高一层次的学生来说，只要学生及时改正了错误运算观念和不良运算习惯，学生的进步空间更大;而对于运算能力层次较低的学生，教师则应该帮助他们好好理解运算法则和运算方法，先不要求其在简便运算上下功夫。
在具体的运算教学中，教师应该根据学生的运算表现和运算思维发展情况，对学生进行分类，找出学生运算出错的原因，从而切实地制定出符合学生实际运算水平和运算起点的教学策略。
3.2 利用SOLO分类理论提高初一学生运算能力的教学策略
3.2.1 帮助学生理解运算公式定理
在具体的运算教学中，教师可以发现很多初一学生不知道选择哪一个公式，或者只能生硬记忆某个运算公式，可以完成简单的运算，但解决不了稍微复杂的问题，可见这类学生的运算能力大都处在前结构层次或者单点结构层次。对此，教师要注重运算公式的推导过程，提高对运算法则的重视程度，只有学生亲自动手推导运算公式，才能加深对公式的理解，从而在做题时熟练巧妙地运用公式定理，不会因为公式的误用和混用而中断运算过程，这样不仅可以提高学生的数学运算水平，也能锻炼学生的数学思维能力。
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3.2.2 重视算理，提高运算能力
算理是指运算过程中的思维方式，主要回答“为什么这样算”的问题[3]。学生只有理解了运算的道理，才能理解和掌握运算方法，从而正确迅速地进行运算。所以运算教学必须从算理开始，只有以算理思维为导向，才能避免思路混乱，使得解答步骤的关联紧密。下面以初一“解一元一次方程”的运算教学为例，说明不同运算层次的运算表现的根源和应该采用哪种运算教学策略。
第一，前结构层次的典型表现是什么都不做，或者乱做一气。说明学生对数学运算知识不求甚解，是混乱的，甚至是空白的，这时教师首先要唤醒学生的运算意识和激发学生的学习兴趣，然后引导学生记忆一些常用的、必须掌握的、基础的运算公式和法则。
第二，单点结构层次的典型表现是算理糊涂，算法不清，法则出错。说明学生在知识层面就出现了错误，鉴于初一学生还处在形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，教师可以多用具体的事物或者现实情境使其明白算理，如异号两数相加，可以通过“收为正，支为负”“升高为正，降低为负”等实例抽象出算式，然后对计算结果进行解释，通过多道简单的计算题目进行巩固，直到学生熟练掌握为止。
第三，多点结构层次的典型表现是算理明白，算法死板。学生基本掌握计算方法，但急于算出答案，没有充分观察题目的特征就开始解答。其原因有两个：一是单点结构层次积累的运算数量不够，如前例，没有充分体会到“互为相反数的两个数和为零”“同号两数相加，取相同符号”的便利;二是学生的解题习惯是只求快、不求对，忽视审题，这时教师则可以多展示不同学生的不同解法，比较优劣，分析算法背后依据的数学规律，再辅以适当的运算练习，同时在运算练习中要求学生先思考，让学生多注意观察运算中各部分的联系，为进入关联结构层次做积极准备。
第四，关联结构层次的典型表现是算理明确，算法灵活。学生能充分审题，注意题目的特点，不急于收敛思维，往往不只观察一步，而是观察考虑好几步，从中选出较为简洁的算法。达到此层次的学生可以在经验的积累中进行自我评价和反思，体现出一定的数学能力。对这一层次的学生的运算能力的培养不能以量取胜，应该注重思考、观察和比较，多采用分享、交流和讨论的自主学习方式，让学生在运算中思考、体会和感悟，最终进入拓展抽象结构层次，以促进运算能力的提高。
第五，拓展抽象结构层次的典型表现是算理清楚，算法优秀，愿意进行各种方式的检验，善于找出和改正自己的错误，并重新进行计算和思考，直至找出问题所在。这一层次的学生往往对知识的接受能力比较强，对数学运算知识的领悟比其他学生要快、要深、要广，对此，教师应该让他们自己挖掘运算的特点和规律，发现运算的方法，积累运算的技巧和心得，并鼓励他们发现新问题，解释新问题，创新学习方法。
由此可知，无论哪种运算能力层次的学生都需要加强对算理的理解，只有算理清楚，才能在具体的运算中更好、更快、更简洁地运算。算理主要体现在求解问题的步骤中，通过步骤就可以了解学生对运算知识的理解和认知程度，所以在日常运算练习中，教师可要求学生运用算理思维写出解题的具体步骤，不能只写出一个结果。
3.2.3 加强运算检验和估算
通过问卷调查，发现很多学生在运算后都没有主动检查的习惯和意识，而在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中又特别强调学生要有验算和估算的能力。为此，教师在平时的运算教学中，一定要注重培养学生主动验算的意识和能力，否则长期下来，学生就会积累一些错误的运算经验，导致后继运算出现意想不到的错误，更重要的是影响学生思维能力的进一步提高和发展。对于运算能力处在单点结构层次、多点结构层次和关联结构层次的学生，尤其要重视反思和验算，因为这些层次的学生往往运算水平相对较低，对自我要求不高，自身的运算素养也有待提高，所以只有他们在运算时有意识地进行反思和及时纠错，才能使他们的运算水平提升到更高层次[4]。
4 反思与感悟
运用SOLO分类理论进行运算教学时，笔者遇到了很多困难，如在提高不同能力层次学生运算能力的教学策略梳理上，出现了低效或无效的情况，浪费了不少时间和精力;培养学生运算能力的过程中，笔者的耐心不足，导致学生的信心动摇等。从学生多次出现运算问题来看，f明习惯的改变不是一朝一夕的，即使进行了分层，也制定了适合学生实际情况的策略，仍然不能达到理想的效果，还需要进一步优化策略。
因此，利用SOLO分类理论进行数学运算教学时，教师要先根据能力层次分类原则将学生的运算能力分类，并进行规范、科学的示范和指导，让学生长期坚持运算，进而为学生的数学综合能力的提高奠定坚实的基础。
【参考文献】
[1]曹才翰.中学数学教学概论[M].北京：北京师范大学出版社，1999.
[2]喻平.数学核心素养的培养：知识分类视角[J].教育理论与实践，2018（17）.
[3]刘艳美.对初中生数学运算错误的研究[D].石家庄：河北师范大学，2014.
[4]张亚平.初中生数学运算能力现状调查研究[D].南京：南京师范大学，2015.
【作者简介】
汤俭（1977～），女，汉族，广东广州人，本科，中学数学高级教师。研究方向：初中数学教育教学。
宋丽辉（1981～），女，湖南东安人，本科，中学数学二级教师。研究方向：初中数学教育教学。
*基金项目：本文系广东省教育技术中心2020年度教育信息化应用融合创新专项课题“基于智慧课堂的初中数学运算能力培养的教学模式研究”（课题批准号：20JX07003）的研究成果;广州教育学会2021年教育科研课题“注重知识建构的初中数学运算能力的实践研究”（课题编号：202114005）研究成果;越秀区教育局教育科研规划2018年课题“SOLO分类理论下提高初中学生数学运算能力的策略研究”（课题编号：越教类【2018】01号）研究成果;2022年广东省中小学教师信息技术应用能力提升工程2.0专项科研立项课题“基于智慧教学平台的初中生数学运算能力培养的单元教学设计研究”研究成果。
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