股票风险度量熵方法与方差法一致性实证研究
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作者: 郭正权 王中魁 王欣欣
提要本文首先根据均值―方差模型，得到上证50指数50只股票组合有效前沿上的10种优化组合；然后计算这些组合的熵，并以此作为风险度量，画出这50只股票组合的均值―熵有效前沿，与Markowitz均值-方差有效前沿进行比较分析。实证研究表明，股票风险度量的熵方法和方差法是一致的。
金融资产的风险度量是金融风险管理及投资决策领域中的重要研究内容。诺贝尔经济学奖获得者Markowitz提出用方差作为风险的度量，时至今日该方法仍得到了空前广泛的应用，但是它忽略了期望值对于风险的影响。Luce通过考察风险行动的特定变换对于风险感知的影响，提出了风险度量的熵方法，该方法也在投资决策领域得到了应用。但是，用熵度量金融资产的风险，很早就受到了质疑和争论。文献中的实证部分使用了50只证券14年的月收盘价数据，计算了投资组合的“联合熵”，做出了均值-方差模型和单指数模型的有效前沿，以及以熵作为风险度量的均值-熵有效前沿，分别进行比较，认为在选择证券构造有效的投资组合方面，均值-熵方法与均值-方差模型以及单指数模型是一致的。本文将采用上证50指数一年的日收盘价数据，使用与计算“联合熵”有所不同的方法计算投资组合的熵，分别以熵和方差作为风险的度量，画出全部50只股票组合的有效前沿，并进行比较分析。结果表明，在金融资产的风险度量方面，熵方法和方差法具有一致性。
一、风险度量的熵方法
对于风险型随机变量X，设X为连续型随机变量，X的风险记为R(X)。Luce通过考察风险行动的特定变换对于风险感知的影响，提出了风险度量的熵方法。他提出了两个假设，并证明在满足这两个假设的条件下，风险的度量一定是风险变量分布的熵的线性函数，即：R(X)=-Ap(x)ln[p(x)]dx+B (1)
当风险变量X为离散型随机变量时，设X的分布律为{pi}，其中pi=P{X=xi}，i=1，2…，n，则用熵作为风险变量X的风险的度量为：R(X)=-plnp(2)
用熵作为风险的度量，风险的大小仅与风险变量的概率分布律有关，与分布不是一一对应的，并且一般来说，与分布的位置无关。这是风险度量的熵方法的不足之处。
二、实证分析
（一）数据的收集。上证50指数是从上证180指数成分股中挑选出规模大、成长性和流动性好的，最具代表性的50只股票为样本，其成分股数量适中，成交活跃，流动性好，规模较大，具有较好的市场代表性。因此，本文选择上证50指数50只样本股作为研究样本，研究时限选取为2004年1月2日到2004年12月31日共243个交易日。收集到的数据是这50只股票在2003年12月31日到2004年12月31日共244个交易日的日收盘价。由于除权因素的影响，原始的收盘价数据需要经过复权处理。本文的数据来自同花顺华创软件，是经过向前复权处理后的数据。
（二）数据处理
1、收益率的计算和收益率序列的单位根检验。由于股票收盘价已经经过向前复权处理，故本文计算收益率时采用如下公式：r=(P-P)/P (3)
其中，rit表示第i只股票在第t日的日收益率，Pi,t和Pi,t-1分别表示第i只股票在第t日和第t-1日的收盘价。
在本实证中，我们要求这50只股票的收益率序列是平稳的，因为只有这样，才可以把根据历史数据推测出来的关于序列的统计特征应用于对序列未来时期变化的预测，从而为预测的有效性奠定基础。否则，研究这些股票的历史收益数据的风险特征及其刻画方法，就失去了意义。因此，有必要对收益率序列做平稳性检验。
按(3)式计算每只股票的收益率，得到50个收益率序列，分别用sr01、sr02、…、sr50来表示。将它们输入到Eviews的一个工作文件，对其分别做单位根检验，使用的方法是ADF检验，回归模型为：△R=?酌.R+?着，原假设为H0:?酌=0，收益率序列非平稳；备择假设：H1:?酌＜0，序列平稳。检验结果表明，50个收益率序列的ADF值均小于临界值，应当拒绝原假设，认为收益率序列是平稳的。
2、投资组合的优化。首先，根据均值-方差模型对全部50只股票进行优化组合。在使用Matlab金融工具箱的优化功能之前，要对数据进行初步处理，用Excel计算出这50只股票的期望收益率向量，并用超额收益矩阵法求出它们的方差-协方差矩阵。然后，使用Matlab金融工具箱的优化功能，求出十种最优投资组合中各只股票的权重，及其对应的收益率和风险。
3、熵的计算。令W=(wij)50×10表示权重矩阵，其中wij表示第j个组合中第i只股票的权重，wij=1,j=1,2…,10。令R=(rti)243×50表示期望收益矩阵，其中rti表示第i只股票第t日的收益率。则
RW•j=r r … rr r … r… … … …rr… rww…w=r×wr×w…………r×w
(j=1,2,…,10)(4)
表示第j个投资组合的日（加权平均）收益率向量。其中W=[w，w，…，w]′为权重矩阵的第j列元素组成的列向量，表示第j个投资组合中各只股票的权重。根据(4)式计算出每个投资组合的日收益率向量，分别对其元素进行排序，发现这些数据都分布在区间（-0.06，0.07）上。将该区间分为13个小区间，即（-0.06,-0.05]、（-0.05,-0.04]、（-0.04,-0.03]、（-0.03,-0.02]、（-0.02,-0.01]、（-0.01,0]、（0,0.01]、（0.01,0.02]、（0.02,0.03]、（0.03,0.04]、（0.04,0.05]、（0.05,0.06]和（0.06,0.07]，分别命名为区间A、B、……、M。计算收益率数据落在上述区间的频数和频率，并用频率来近似概率，得到10个投资组合的收益率的分布律，然后根据（2）式计算出每一个投资组合的熵。
（三）实证结果及比较分析。由以上的数据处理过程，我们可以得到10个投资组合的期望收益率，以及每个期望收益率所对应的方差和熵。在同一个图中作出熵和方差关于期望收益率的变化趋势图。由图1可以看出，熵的变化趋势和方差的变化趋势基本上是一致的。随着期望收益率的增加（减少），熵和方差都增加（减少），而且方差曲线和熵曲线基本上是一种平行关系，这说明了在度量股票风险方面，方差法和熵方法是一致的。（图1）
为了做进一步的比较分析，我们分别画出全部股票组合的均值-方差有效前沿和均值-熵有效前沿。由图2可以看出，以熵作为风险度量的均值-熵有效前沿和以方差作为风险度量的Markowitz均值-方差有效前沿，形状基本上是一致的。根据Markowitz均值-方差有效前沿选择的最优股票组合，也必定与应用均值-熵有效前沿选择的结果一致。这说明了，股票风险度量的熵方法和方差法是一致的。（图2）
另外，从图1和图2中我们还可以看出，方差曲线和均值-方差有效前沿比熵曲线和均值-熵有效前沿规则。这是因为均值-方差模型假设投资者的效用函数为二次函数，并且收益回报的联合分布为正态分布，由此推导出均值-方差有效前沿为一条抛物线。但是效用函数具有很大的主观性，并且越来越多的研究表明，股票收益率并不服从正态分布。而熵不受上述假设条件的约束，仅仅与收益率的分布律有关。从这个意义上讲，用熵作为股票风险的度量，能更好地刻画风险的特征。
三、结论
熵作为股票风险的度量，仅仅与收益率分布的概率有关，一般与分布的位置无关，用熵作为风险的度量，因此受到了质疑。本文根据我国股市的数据，计算了10个最优投资组合对应的方差和熵，比较了方差和熵随着期望收益率的变化而变化的趋势，并分别以其作为风险的度量，画出了均值-方差有效前沿和均值-熵有效前沿，进行了比较分析。实证结果表明，股票风险度量的熵方法和方差法是一致的。
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