随机供货下销售商最优订购决策

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　　摘 要：在实际生产生活中，存在着由于产品本身生产的随机性和一些外部因素导致生产商供货不确定的问题，本文研究了在此的背景下，单周期供货不确定情况下销售商的最优订购决策。理论上分析了最终到货量为订购量与扰动变量加和情况下，销售商存在最优订购量，按照新的策略订购可以使销售商利润最大化，并最大可能的消除由于订货不足或者订货过量所带来的负面效应。
　　关键词：随机供货 订购决策 报童模型 随机需求
　　
　　The Retailer’s Optimal Ordering Strategic Decision under the situation of Random Supply
　　Cheng Lei Wang Daoping Li Feng
　　(School of Economics and Management, University of Science and Technology Beijing,
　　Beijng, 100083)
　　Abstract：In the actual production and life, there is the randomness of the production of the product itself and some external factors that led to the problem of uncertainty supply of manufacturers. In this article, analyze the optimal order strategy of vendors under a single-cycle supply uncertainty. A general analytic solution for two type of risks ――multiplicative and addictive is described. We also derive the optimal order qualities under any situations. The order strategy is different from the classics newsvendors’ problem. According to the new strategy retailers can maximize profits and eliminate the negative effect from underage or overage ordering.
　　Keywords：random supply, order strategy, newsvendors model, stochastic demand
　　*本文受到国家自然科学基金（编号70872010）和北京市哲学社会科学“十一五”规划项目（07BfJG185）的资助。
　　
　　1引言
　　
　　实际经济生活中存在着大量存在着此类现象，造成这种情况的原因主要有：（1）产品本身产出是随机的。如生鲜农产品的生产，一些化工类产品和电子类产品都会存在随机产出的问题，产出的随机性造成了供货的随机性，尤其是农产品的生产，受天气等因素的影响很大，造成其产量的极大波动；（2）产品在运输途中的损失或者发货错误，产品在运输途中出现破损或被偷盗等等情况，都会导致供货的不确定。
　　关于供货随机的研究国外国内都比较少见，Karlin（1958）[1]最早进行了随机产出和随机需求的研究，Karlin简单的论证了若持货成本和缺货成本为他们各自参数的凸函数时，除非有一定的存货，那么最优的策略就是订货量为0；Shih（1980）[2]在不合格率为常数且持有和缺货成本为线性时证明存在最优订货量；Yano和Lee（1995）[3]研究了面对随机需求和随机环境下批量生产计划的制定和库存的控制问题。Noori和Keller（1986）[4]研究了单周期生产和需求随机的库存问题，进一步研究了产出服从均匀分布且需求服从指数分布的库存问题。Ehrhardt 和Taube（1987）[5]总结了Shi
　　的模型并进一步扩展，将缺货成本扩展为一般式。Gerchak（1988）[6]考虑了具有初始库存的随机产出问题，他证明了在净产出与计划产出成比例时，存在最优的计划产量和最优的初始库存。Inderfurth（2004）[7]从费用最小化的角度研究了随机产出和需求的单周期生产和库存问题。Keren（2009）[8]分析了随机产出但需求固定的单周期库存问题，并将之扩展到供应链协调研究上。国内关于随机产出的问题研究相对较少如文晓巍（2009）[9]等在常数型、线形型和指数型三种随机生产状态下易变质品的生产特性，得到了EOP模型的总成本函数，并进行了求解。赵霞（2009）[10]等从供应链的角度研究了在产出和需求扰动服从均匀分布的情形下，单个生产商和零售商的供应链协调问题。吴鹏等（2008）[11]研究了回收再制造企业在回收数量不确定的情况下的企业生产决策问题。
　　本文完成的主要工作是：（1）以上大部分文献研究均是以成本最小作为建立模型的目标，而实际上一个理性的经济人通常会以最大化利润作为经济活动的目标，为了更贴合实际，本文从利润最大化的角度研究了销售商面对供货不确定的情况的单周期最优订货量。并考虑商品在销售期末进行打折销售所得收益和产品缺货时会给销售商带来潜在的期望收入的损失，包括信誉等的损失，在此条件假设下构建了新的数学模型；（2）在最终到货为订购量和扰动变量加和情形下讨论了最优订货量；（3）分析了最优订货量与定价、残值以及缺货损失之间的变化关系，得出本文的订购决策能够最大可能的避免订货商遭受过量订货或者订货不足的风险。
　　本文研究结果表明，在最终获得量不确定的情况下，当扰动变量和市场需求服从均匀分布时均存在最有订购量使得企业利润最大化，并且随着定价提高，残值提高以及缺货损失提高均会导致最优订货量的提高，这与实际情况是相符的。采用本文的订购策略会最大可能的降低缺货或者订货过量带来的损失。本文的研究结果可以用于以下方面：（1）对于零售商来说，对于随机需求和随机产品来源的情况该模型可作为零售商订货的决策模型；（2）对于生产商来说，对于随机需求和随机产出该模型可作为生产商的生产投入决策模型。
　　
　　2基本的报童模型
　　
　　2.1 模型参数及假设
　　 ：单位产品价格
　　 ：市场需求，为随机变量， 为随机变量 的期望
　　 ：单位产品的订购成本
　　 ：一个销售季节即将结束时，剩余产品的残值，一般情况下
　　 ：缺货成本，包括缺货所造成期望收入损失及信誉的损失等
　　 ：计划订购数量，最终获得数量由于随机性会与事先制定的预定的数量有所不同，为决策变量
　　 ：最优计划订购量量
　　 ：产出随机因子，代表生产的随机性， 为随机变量 的期望
　　 ：最终收货为订货量与随机扰动 的加和
　　 ：连续型随机变量的密度函数，
　　 ：连续型随机变量的分布函数，
　　2.2基本模型及求解
　　基本模型不考虑产出的随机性，假定订购量为 ， 不是随机变量，则决策单位收益为：
　　Cachon证明其存在最优值，且最优值为 。
　　3最终产量为加法型随机供货下销售商订购策略
　　模型中假定最终获得量为计划产 与随机扰动变量 的和，即最终的产出量为（ ），则在此情况下，销售商收益为：
　　命题1 当 时，使得收益期望最大的订购量为 。
　　证明：对收益期望函数求一阶导 ，根据假设易知一阶导小于0，因而原函数为减函数，即越增大产量，则净收益越少。根据实际情形解释：这种情况的假设前提来看，需求服从 上的均匀分布，也就是说需求最大到达 ，不会超出 ，对于假设的前提 ，函数取得最大值时，应为 取最小值，即当 时，期望收益最大，因而在此情况下，销售商的最优订货量为 。
　　从而，期望收益函数为上凸函数，存在极大值点，令一阶导数为零，可得到对应极大收益值的最优订购量 。
　　定理1 当订货商最终获得量受随机因子的影响呈加法型，且需求，则存在最优订购量。
　　证明：根据命题3、命题4和命题5，在不同情况下，均存在最优订购量，因而总体来说在订货商最终获得量受随机因素扰动呈加法型条件下，订货商存在最优订货量。
　　3.2 参数分析
　　以下研究参数变化对最优订购量以及最大期望收益的影响。
　　 关于参数与 之间的关系，有以下几点结论：
　　（1）当定价 、残值 和缺货损失 的增大时，相应增大。在实际情况中，当价格升高，残值增大，缺货惩罚增大时，销售商显然会提高订购量以增加利益，降低惩罚风险，因而所求结果与实际情况相符。（2）当随机变量 的均值增大时， 相应增大。实际情况中， 的均值增大相当于需求增大，则销售商会增大订购量来满足需求。
　　
　　4结语
　　
　　综上所述可以得到以下几点结论：1当处于不确定供货和随机需求的环境下，且扰动随机变量 、需求 时，对于销售商而言，总存在着能够使利润最大的最优订购数量；2从各种情况结果可以得出，随着定价 、残值 和缺货损失 的提高，都会使相应增大。当销售商遭遇价格升高，残值增大，缺货惩罚增大时，都会提高订购量以增加利益，降低惩罚风险，因而所求结果与实际情况相符，进一步验证了结果的正确性；
　　3传统报童模型最优订购量为 ，为了方便对比，求出其需求服从均匀分布下的解析式。当 时，传统报童模型最优订购量为 ，显然与考虑了供货不确定的结果具有一定的差异。因而对于销售商来说，考虑了供货不确定的因素，准确的估计订购量能够使得期望利润最大并降低未来遭遇到的风险。
　　
　　参考文献：
　　[1] Karlin S. One stage inventory models with uncertainty. Studies in the mathematical theory of inventory and production. Stanford University Press; 1958.
　　[2] Shin W. Optimal inventory policies when stock outs result from effective product. International Journal of Production Research ,1980, 18:677-686
　　[3] Yano C, Lee HL. Lot sizing with random yields: a review. Operations Research ,1995, 43: 311-334
　　[4] Noori AH, Keller G. One-period order quantity strategy with uncertain match between the amount received and quantity requisitioned. INFOR,1986, 24(1): 1-11
　　[5] Ehrhardt R, Taube L. An inventory model with random replenishment quantity. International Journal of Production Research,1987, 25(12): 1795-1803
　　[6] Gerchak Y, Vickson RG, Parlar M. Periodic review production models with variable yield and uncertain demand. IIE Transactions, 1988,20:144-150
　　[7] Inderfurth K. Analytical Solution for a single-period production-inventory problem with uniformly Distributed yield and demand. Central European Journal of Operations Research ,2004, 12:117-127
　　[8] Keren B. The single-period inventory problem: Extension to random yield from the perspective of the supply chain. Omega, 2009, 37:801-810
　　[9] 文晓巍，张光辉. 随机生产状态下易变质产品的EPQ模型. 中国管理科学[J],2009,17:378-382
　　[10] 赵霞，吴方卫. 随机产出与需求下农产品供应链协调的收益共享合同研究. 中国管理科学[J],2009,17(5):88-95
　　[11] 吴鹏，陈剑. 考虑回收数量不确定性的生产决策优化. 系统工程学报[J], 2008,23(6): 645-649
　　[12] Cachon GP. Supply chain coordination with contracts. Handbook in operations research and management science, volume 11. Amsterdam: Elsevier BV, 2003
　　
　　作者简介：
　　程蕾（1980-）女，山西人。北京科技大学经济管理学院博士生。研究方向：物流与供应链管理。
　　王道平（1964-），男，北京人，北京科技大学经济管理学院教授，博士生导师。研究方向：管理信息系统，物流与供应链管理。
　　李锋（1979-），女，湖南人。北京科技大学经济管理学院博士生。研究方向：物流与供应链管理。

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