任意分辨率小波光顺的光顺精度分析

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　　摘要：在多分辨光顺算法研究及软件编制的基础上，针对多分辨光顺的精度控制问题，分析研究了光顺尺度对光顺精度的具体影响。该方法以半圆曲线作为标定对象，揭示了光顺尺度的选择与光顺精度之间的内在联系。实验结果表明，光顺尺度越小，光顺误差越大；多分辨光顺能够以较少的点表示原始曲线，有较强的数据压缩能力；曲线曲率较大的地方，更容易产生光顺误差。
　　关键词：
　　逆向工程；多分辨分析；光顺；小波；计算机图形学
　　中图分类号：
　　TP391.72
　　文献标志码：A
　　0引言
　　由于实物原型的制造误差以及测量技术的限制，在原型的数字化过程中将不可避免地带入各种误差和噪声，从而影响重构曲线曲面的光顺性。曲线曲面的光顺操作是改善其重构质量的直接、有效的方法。光顺操作一直是逆向工程中的关键部分，特别是对于像压缩机转子、增压器叶轮、发动机叶片等这类必须满足空气动力学性能要求的功能表面以及像汽车、家用电器外型等包含有艺术特色的观赏表面尤为如此。多分辨光顺技术为这一问题的解决提出了全新的思路。
　　多分辨分析（MultiResolution Analysis， MRA）是一种能够刻画数据内部相关性结构的新的时频分析数学方法，同时具有时域和频域的局部性。随着该技术的日渐成熟，多分辨分析开始被应用于计算机图形学。1994年，Quak等[1]开创性地针对具有2j+3（j为二进尺度）个控制顶点的特定曲线，首次提出了闭区间上B样条小波的分解与重构算法。针对多分辨光顺这一新领域，国内外许多学者对此展开了研究。Ceruti等[2]基于二进小波光顺算法，构造了快速的多细节层次（Levels of Detail， LOD）滤波器组，实现了A级曲线的小波光顺。潘洋宇[3]在研究经典小波变换的基础之上，提出了基于提升格式的第二代小波光顺技术，该方法通过分割、预测、更新三个步骤组成了一个提升步，并以常用的三次准均匀B 样条曲线为例，推导了准均匀B 样条曲线的二代小波表示方法。AbdulRahman等[4]基于提升小波框架，将其推广到自由曲面的表示，并实现了不规则复杂自由曲面的过滤与光顺。
　　上述研究虽然实现了曲线曲面的小波光顺，但由于小波构造过程中所使用的尺度函数为B样条基函数，且其伸缩平移系是二进的，即不同尺度函数之间以二倍进行缩放，这虽然可以保证曲线曲面能够在不同尺度下进行连续的小波分解，但是却也存在一个致命的缺陷，那就是对控制顶点的个数有严格的要求，即必须保证曲线曲面的控制顶点数量为2j+（r-1）（r为阶数），但实际上曲线曲面的控制顶点数一般是任意的，针对这种一般情况，上述的一整套算法将不再适用，这在很大程度上制约了小波技术在该领域的应用和推广。这一问题是与生俱来的，二进小波构造在降低数学推导难度的同时，也对所处理的控制顶点数量提出了限制。一般把这种光顺算法称为二进小波光顺。
　　为了实现对具有任意个控制顶点数的曲线曲面的小波光顺，潘洋宇等[5]通过插入节点从而增加控制点个数的方法， 运用第二代小波变换，研究了任意控制点B 样条曲线小波光顺技术。Wang等[6]根据给定的权重公式，通过对节点矢量的去除，重构了正交非均匀样条小波，从而实现了一般非均匀有理B样条（NonUniform Rational BSpline， NURBS）曲线曲面的小波光顺与精简。Pan等[7]、Sadeghi等[8]通过给定的节点矢量，基于离散范数，运用最小二乘拟合算法，构造了双正交非均匀B样条小波，实现了任意自由曲线的多分辨光顺。该算法由于避免了内积运算，计算效率得到了很大的提高。但是上述算法都存在近似计算，无法对曲线曲面进行精确重构。一般把这种对控制顶点数量没有特殊要求的光顺算法称为任意分辨率小波光顺。
　　针对上述问题，在文献[9-12]中，作者已经从小波的定义出发，通过直接的数学推导，实现了对具有任意控制顶点数的曲线曲面的小波光顺。但是对于小波的光顺结果，特别是对光顺精度的影响，仍然有必要作进一步的讨论。
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