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基于祖冲之类方法的多体动力学方程保能量保约束积分

来源:用户上传      作者: 吴锋 高强 钟万勰

  摘要:针对一类多体动力学问题导出的微分代数方程,提出一种保能量、保约束的算法.该算法基于祖冲之类方法和欧拉中点保辛差分,利用祖冲之类方法保证在时间格点上精确满足约束方程,避免约束违约问题;并进一步证明该算法在时间格点上可以精确保能量.数值算例进一步验证该算法的可靠性.
  关键词:多体动力学方程; 微分代数方程; 保辛; 祖冲之
  中图分类号: O313.7
  文献标志码: B
  0引言
  近年来,多体动力学研究已逐渐成为研究热点.一方面是由于多体动力学建模得到的往往是强非线性方程,分析困难;另一方面则是因为多体动力学问题具有十分广泛的运用背景[12],如航空航天器、车辆和机器人等.目前,多体动力学的建模方法可以分为相对坐标法和绝对坐标法2类.当用绝对坐标法时,得到的往往是微分代数方程组.关于微分代数方程组的求解,目前已有一些进展.
  许多学者认为,数值积分过程中约束方程的违约是造成积分困难的重要原因之一.原亮明等[3]把位移约束方程按照泰勒级数展开,与动力学方程组合进行迭代求解;赵维加等[4]用泰勒级数把约束方程展开,根据积分步长提出一种能对约束误差自动修正的小扰动违约稳定方法;付士慧等[5]对具有完整、定常约束的多体系统,通过修改的带乘子的拉格朗日正则形式方程,给出一种违约修正方法;戈新生等[6]提出一种基于完全笛卡尔坐标的多体系统微分代数方程符号线性化方法.在诸多研究中,文献[7]中所提的方法能很好地解决约束方程违约问题.他们利用保辛的时间有限元结合祖冲之类方法的思想:保辛方法可以保证长时间积分的精度,祖冲之类方法可以解决约束方程违约这一问题.但是,当时的文献中还没有正式提出祖冲之类方法这一名词,直到在最近出版的《经典力学辛讲》[8]中,祖冲之类方法才被正式提出.祖冲之类方法指出,约束方程不必处处满足,只要在时间格点处满足即可.依据这一思想,使得微分代数方程的求解格式简单,而且无约束违约问题.
  对于非线性系统的差分格式要保辛,而国外论文提出,对于不可积系统,保辛和守恒难以同时达成[9]的问题,阐明保辛则能量不能守恒,能量守恒就不能保辛的两难命题.实际上,文献[10]通过引入含参变量的近似Hamilton系统,并以此为基础利用保辛摄动的思想,提出一种Hamilton系统的保辛守恒积分算法,实现即保辛又保能量的算法.
  图7为能量的相对误差,其中计算相对误差所参考的真实能量H=34.868 J;图8为约束最大相对误差.由图7和8可知,在积分1 000 s的时间内,本文算法计算结果的能量相对误差和约束相对误差都相当小,其中能量的相对误差为10-13数量级,而约束误差则为10-15数量级,说明本文算法完全是既保约束又保能量的,没有约束违约问题,计算结果验证理论分析结果.由于本算例虽然是在空间运动的双摆,但是给定的初始位移和初始速度设定其实际运动只在一个平面内.图9和10分别给出质点1的运动轨迹和质点2相对于质点1的运动轨迹.图9和10中分别给出的3幅图是从3个不同角度绘制的运动轨迹,其中,图9(a)为xy平面内的运动轨迹,可见在计算1 000 s的时间区段内,质点1仍然精确地维持在一个平面内运动;同样图10(a)亦可验证这一点.这进一步说明本文方法既保约束又保能量的优点,因为不守恒算法计算时,常常是在最初几秒可以维持在同一平面;随着计算继续,误差累计,运动轨迹往往跃出平面外.
  3结束语
  综合运用文献[78]提出的祖冲之类方法和文献[10]提出的保辛守恒思想以及欧拉中点保辛差分格式,建立求解多体动力学方程的既保约束又保能量的算法.该方法在格点处可以严格满足位移约束方程和能量守恒条件,而在非格点处,约束条件和能量方程可以近似满足,避免约束违约的问题.数值算例表明,本文方法的计算结果满意.
  参考文献:
  [1]胡继云. 建立多刚体系统动力学方程的坐标变换法及其应用[D]. 重庆: 重庆大学, 2004.
  [2]田强. 基于绝对节点坐标方法的柔性多体系统动力学研究与应用[D]. 武汉: 华中科技大学, 2009.
  [3]原亮明, 王成国, 刘金朝, 等. 一种求解多体系统微分代数方程的拉格朗日乘子方法[J]. 中国铁道科学, 2001, 22(2): 5154.
  [4]赵维加, 潘振宽, 王艺兵. 多体系统动力学微分/代数方程约束误差小扰动自我稳定方法[J]. 应用数学和力学, 2000, 21(1): 9498.
  [5]付士慧, 王琪. 多体系统动力学方程违约修正的数值计算方法[J]. 计算力学学报, 2007, 24(1): 4449.
  [6]戈新生, 赵维加, 陈立群. 基于完全笛卡尔坐标的多体系统微分代数方程符号线性化方法[J]. 工程力学, 2004, 21(4): 106111.
  [7]钟万勰, 高强. 约束动力系统的分析结构力学积分[J]. 动力学与控制学报, 2006, 4(3): 193200.
  [8]钟万勰, 高强, 彭海军. 经典力学辛讲[M]. 大连: 大连理工大学出版社, 2013.
  [9]ZHONG G, MARSDEN J E. LiePoisson HamiltonJacobi theory and LiePoisson integrators[J]. Phys Lett A, 1988, 133(3): 134139.
  [10]高强, 钟万勰. Hamilton系统的保辛守恒积分算法[J]. 动力学与控制学报, 2009, 7(3): 193199.
  [11]邢誉峰, 杨蓉. 动力学平衡方程的Euler中点辛差分求解格式[J]. 力学学报, 2007, 39(1): 100105.
  (编辑武晓英)
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