初中生数学解题的常见错误与对策研究
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摘 要：初中生在解决数学问题的过程中，或多或少地会出现各种各样的错误，这些错误有规律性和共性。文章针对学生最常见的知识性错误、逻辑性错误、策略性错误以及心理性错误四个方面展开论述，并在此基础上提出相应的解决策略。
关键词：初中生；数学解题；错误；对策
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2015）16-0062-02
在初中生解决数学问题时，我们发现并不是所有的学生解题的准确率都很高，甚至不出错误，相反我们发现有些学生会常常在解题时出现这样那样的错误。虽然错误是各种各样的，但是只要我们教师在纠正这些错误时，认真研究就会发现，学生出现的错误有一定的规律性和共性。当教师的要认真地对待学生的解题错误，对学生常出现的错误问题进行合理分析，然后有序地进行归类，从而研究对策，借用学生错题来为下一步的教学做好预设，提高数学教学效果。
一、知识性错误与对策
初中数学教学中，学生解题时的知识性错误比例相对比较多，主要是由于以下几方面问题造成的。（1）数学概念模糊、数学性质不清楚，解题时胡乱使用概念和性质。（2）忽视了在做题时要注意公式、定理、法则的使用条件，而这些条件往往正是解题的关键所在。（3）没有注意题目中隐含的条件。（4）解题时，漏掉了条件或是自己任意胡乱添加一些无关的条件。针对这些错误，教师要以数学知识本身为出发点，寻找相应对策，帮助学生克服错误。
1. 宽容学生的错误，让学生自己学会改错
当学生解题出现知识性的错误时，教师不能动不动就批评、指责学生，这样会打击学生的自信心。教师一定要有一颗宽容的心对待学生的解题错误，并且要有智慧地提取学生解题中合理的部分，鼓励学生，让学生主动接受错误，认同教师，然后让学生自己提出自己的想法和解题思路，对错题进行新的改正，对解题方法进行有效调整。
比如，某次上课，我让学生小W做计算题： -。小W的解题方法如下：-=2（x-2）-2（x+2）=2x-4-2x-4=-8.
毫无疑问，学生小W的解题是错误的，有些学生看到小W的解题后，有意无意地笑了起来，小W同学显得很不安。这时，为了缓解课堂尴尬气氛，我就面向学生问那些笑起来的学生：“那你们认为错在哪里呢？”学生齐声回答：“小W把知识搞错了，应该是利用分式运算解题，他却把这个题目当作解方程来做了。”小W的数学成绩一般，为了让小W能够对数学产生兴趣，激发小W学习数学的信心，同时也为了让小W少些尴尬，我就巧妙地利用这个题目来启示学生。我说：“小W把概念弄混了，他的解题是有问题的。可是小W同学也给我们一个有益的提示，那就是我们能够采用解方程的方式来做这个题目吗？”我抛出这个题目后，让学生分成小组进行讨论，很快，学生自己就形成了下面的解法。设-=A，去分母得：2（x-2）-2（x+2）=A（x+2）（x-2） ，解得：A==. 学生解题时，犯错误不要紧，很多时候这些错误正是教师可以用来指导学生进行探究学习的最好机会。首先，要让学生发现错误，然后把错误的答案和解题过程与正确的进行对比研究。其次，教师要积极利用学生错误解题中的有效与合理的成分进行教学，引导学生查错、谈错、析错、评错、改错。鼓励学生合作学习，接近成功。再次，数学课堂上，教师要善于利用学生的错误，寻根溯源，化错误为有效的教学资源，使教学得到延伸与拓展，引导学生一步一步得出新的结论和新的解题思路与方法。
2. 暴露错误过程，让学生弄清错误根源
当学生解题后出现错误，教师有时候应该直接地告诉学生错在哪里。但是不能直接地把正确的解题思路与方法写给学生看，而是让学生自己去发现、去解决问题，锻炼学生动脑、动手练习的好习惯。只有当学生亲自操作了，他们才能对数学知识的概念、原理以及公理有深刻的理解。
比如：我叫两个学生上黑板证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这个命题。这两个学生都能准确地画出图形，写出解题已知与求证：在△ABC中，∠B=∠C. 求证：AB=AC. 这两个学生都对图形作了相应的辅助线，他们也对自己的辅助线进行了解题描述。学生A：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D。”学生B：“作△ABC的角平分线AD。”当我看到这两个同学解题的辅助线描述后，说：“学生B的辅助线对，学生A的辅助线需要修改。”然后我向学生抛出两个问题，让全体学生思考，弄清楚这个题目的概念。（1）请说一说学生A的辅助线作法为什么是错误的。（2）按照学生B的辅助线来解题，完成证明过程。
3. 设置错误题目的同类题，强化学生解题训练
针对学生错题的知识点，教师可以利用网络检索同类题型，尽可能多地找到一些相关知识点的同类题目。教师在讲解错题的基础上，让学生重点参考同类题反复训练。经过一段时间的同类题的训练，能够让学生加深对知识点的掌握和巩固，从认识上、行动上减少甚至消灭此类题目的错误。教师可以让学生自己做个表格，对自己经常出现错误的同类题目进行整理、归类。比如：错题出处（页码、题号）、所属知识点（哪一章哪一节）、错误原因（表面原因、深层原因）、正确解法、规律总结、寻找同类题目，同时，注明下次复习此题的时间（第2天、第10天、第30天……）。
4. 建立错题档案，开展纠错交流
教师可以指导学生建立错题档案，把错题归类。利用数学实践活动课，教师让学生开展错题交流，进行纠错，让学生学会反思错题的原因，学会正确地解题方法。这种档案的建立与纠错活动的开展，有利于让学生提高自己诊断能力，从而发展学生的数学思维。
二、逻辑性错误与对策
初中生对于数学逻辑还是不能很好地把握和理解，他们在解决数学问题的时候，经常不知不觉地违反了数学逻辑，在数学推理和数学论证上面犯错误，从而导致解题出现错误。这类错误，突出表现在以下几个方面：论据虚假、无法正确推出结论、偷换概念、论证时反复循环论证。面对产生这些逻辑性错误的原因，教师要在学生解题过程中，实时地指导学生把握好推理、论证的逻辑规则，避免由于盲目而出现解题错误。 例如：已知m为有理数，问k为何值时方程的根是有理数：x2-2（3m+1）x+（8m2+2m-3k）=0. 错解：要使方程的根是有理数，它的判别式Δ=[2（3m+1）]2-4（8m2+2m-3k）=4（m2+4m+1+3k）必须是完全平方式，也就是必须使关于m的方程有两个相等的实根。于是，Δ=42-4（1+3k）=12（1-k）=0，∴k=1。这个解题方法是把“有理数的平方”理解成了“完全平方式”，存在明显的偷换概念问题，完全违背了逻辑思维的同一律要求。而事实上，只要有Δ=n2（n为有理数），就可以得出：k=（n2-4m2-16m-4）.
三、策略性错误与对策
学生在解题时，由于使用的策略不当，在解题过程中就会出现错误方向，或是解题思路出现短路情况，也有可能不当的策略让解题过程更加费时间，难度提高。这时，若解题时间有限，也导致问题无法得到解决。
例如：有甲、乙、丙三种物品，若甲买3件，乙买7件，丙买1件，共要3.15元；若甲买4件，乙买10件，丙买1件，共要4.20元。如果甲、乙、丙各购一件共需多少元？很多学生没有解出这个题目的原因，主要是他们在设上面出了问题：设甲、乙、丙购一件各需x元、y元、z元，得：3x+7y+z=3.15
4x+10y+z=4.20. 很明显，这个题目学生想单独设x、y、z来解题，结果学生发现方程只有两个，而未知数却有三个，条件不满足，根据题目又无法列出第三个方程来，最后学生只好放弃这个题目。这里犯的一个解题错误就是在策略上没有考虑到题目的整体性，片面地去思考，结果在方向上走错路。其实，只要我们把x+y+z看成一个整体，就能得到这样的方程： 2（x+3y）+（x+y+z）=3.15
3（x+3y）+（x+y+z）=4.20. 由此看来，解题策略对了，题目就能迎刃而解。
有时候我们发现，学生不会解题，不一定就是因为他们数学知识不够，而可能是他们的解题策略有问题，往往简单的问题搞成复杂化。我们知道，数学教学有个非常重要的任务就是让学生选择解题策略。首先是怎么想，然后是怎么做，最后是什么结论。这三个层面都需要学生进行思维活动，而思维活动就是解题策略的核心。只有正确的思维活动，才能得到正确的解题结论。
四、心理性错误与对策
有很多学生具备良好的数学基础知识，也具备了一些解题技巧和策略，但是他们在解题时可能还会由于某些心理原因，造成解题错误。比如：心烦气躁、丢三落四、郁郁寡欢等等心理。
例如：下面各行数字中，哪一行既含有某个整数的平方，又含有另一个整数的立方（ ）：A.7、2、5、4、6，B.3、8、6、9、7，C.5、4、3、8、2，D.9、5、7、3、6，E.5、6、3、7、4。 错解：在所出现的数字2、3、4、5、6、7、8、9中，只有8是整数的立方，4、9是整数的平方，故不含8的A、D、E可以排除。又C中4是2的平方，8是2的立方，“平方”“立方”都是2，与“含有某个整数的平方，又含有另一个整数的立方”不符，故选B。事实上，-2的平方也等于4，所以，选择B、C都成立。这种错误，是由于心理原因造成的丢三落四所致。当然，出现这种心理的学生，大部分是一些学习有些吃力的学生或者是一些后进生。所以，特别需要教师根据学生的学习情况区别对待，给每个学生都提供一些获取成功体验的机会。
五、结束语
在我们的数学教学中，教师一定要正确地处理好学生的解题错误。对学生解题错误，不能简单地以结论来评判对与错，而应该追溯数学解题的全过程。对学生解题错误中存在的知识问题、策略问题、逻辑问题以及心理问题进行追踪，诱发、启迪学生选择正确的解题方法，提高学生的数学能力，促进学生成长。
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