排列组合中的分组、分配问题的有效解法

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　　[摘   要]分组、分配问题是排列组合问题中的典型问题，研究此类问题的解法，能帮助学生更好地理解排列组合的知识，也能提高学生的解题能力.
　　[关键词]排列组合;分组;分配;问题
　　[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）08-0030-02
　　排列組合中的分组、分配是一对相互联系又易于混淆的概念，很多学生在具体题目的解答时伴有一种源于题目要求本身的疑惑和不确定，也有对这两个概念的错误解读，因此大大降低了解答结果的准确率，形成解题时的心理困惑.下面笔者就分组和分配的概念、分类、解法等做梳理，详细介绍两者之间的联系与区别，以帮助学生正确理解和解决此类问题.
　　一、明辨概念，准确理解
　　概念是最准确的表述，而其逻辑严密、语言简练、学科特征强的优点往往会让中等以下能力的学生在理解中存在一定困难.因此，教师的朴素解读是学生理解的重要一步.
　　1.分配.把n个不同元素依据确定的条件分配给 m个不同对象，称为分配问题.包括定向分配和不定向分配两类.其关键词：不同元素、不同对象、条件、分配.
　　2分组.把 n 个不同元素按照确定的条件分成m组（或m堆），称为分组问题，包括平均分组、非平均分组和混合分组三类.其关键词：不同元素、条件、分组.
　　从以上概念的关键词足以看出，分配与分组联系紧密、区别明显.共同点：它们的每一个对象或每组分得的元素之间是无顺序要求的.主要区别：分配问题涉及被分配的元素和接受元素的对象;分组问题则仅有被分组的元素，没有接受元素的对象，各组之间无须考虑顺序.
　　二、确认分组，分类解析
　　分组问题中，元素间、组之间均无顺序要求，一般包括三类：平均分组、非平均分组、混合分组.
　　1.平均分组.平均分组是指把n个不同元素平均分成m个组，每组r个元素.在具体问题解答中易于重复，造成分组方法成倍增加，所以需要通过元素个数较少的实例帮助学生理解，并推证出正确的计算公式.
　　[例1]把1、2、3、4这四个数平均分成2组，有多少种不同的分法？
　　分析：显然是平均分组问题，与元素的顺序无关，是组合问题.很多学生会列式为 [C24C22 ]= 6（种），并坚信其正确性.下面通过列举法来说明正确的分组方法数.
　　1、2、3、4的各种分法情况列举如右图所示.
　　从右图可以看出，[C24C22]=6（种）恰是平均分组且进行定向或不定向分配的结果，而平均分组的结果应该是[C24C22A22=3]（种）.这个错误的产生源于各组元素个数相同、组之间也无序的特点.因此，列举法可以让学生有一个正确的认识和深刻的理解.于是得出平均分组的方法种数计算公式：
　　把n个不同元素平均分成m个组，每组元素r个，则共有分法[CrnCrn-r…CrrAmm] （种） .
　　2.非平均分组.非平均分组是指把n个不同元素分成m个组，每组的元素个数都不相同.由于这种分组方式不会出现因选取元素的先后顺序而造成分组重复，所以按照选取元素所得到的方法种数就是实际分组方法种数.其计算公式如下：
　　3.混合分组.混合分组是指把n个不同元素分成m个组，有一部分组内元素个数是相同的，另一部分组内元素个数不同.这类分组问题容易误为非平均分组而计算错误，所以需要以实例加以说明，从而正确解决.
　　解析：（1）属于平均分组，其分法有[C26C24C22A33=15]（种）.
　　（2）非平均分组，共有[C16C25C33=60]（种）.
　　（3）混合分组，共有[C16C15C44A22=15]（种）.
　　通过例题解析，可以对分组的不同类型有一个更加清晰的认识，加深对其特征、算法的理解和熟悉.
　　三、明辨分配，不重不漏
　　分配问题是指把不同的元素分配给几个不同对象，其各组间有确定的顺序要求.一般包括两类：定向分配和不定向分配.
　　1.定向分配.定向分配是指不同接受对象对接受的元素个数有确定要求，于是分组结果就是分配结果.
　　2.不定向分配.不定向分配中，各个不同对象对接受的元素个数不做限制，事实上就是先分组后排列的问题，其分组方法种数乘以所有对象个数的全排列数.借助以上分析易于得出解不定向分配问题的一般原则：先分组后排列.
　　[例4]六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
　　（1）分给甲、乙、丙三人，其中甲1本，乙2本，丙3本;
　　（2）平均分给甲、乙、丙三人，每人2本;
　　（3）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本;
　　（4）分给甲、乙、丙三人，其中两人各1本，一人4本.
　　分析：这组题属于分配问题.第（1）题为定向分配问题，分组的分法种数即为分配结果;其余三题是不定向分配问题，这是此类问题中比较困难的一类. 因分给三人，同一本书给不同人是不同分法，所以归为排列问题. 事实上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以组数的全排列数即可.
　　（1）共有[C16C25C33=60（种）];
　　（2）共有[C26C24C22A33?A33=90]（种）;
　　（3）共有[C16C25C33?A33=360]（种）;
　　（4）共有[C16C15C44A22?A33=90]（种）.
　　通过以上例题解析，可以对分配问题中的基本类型形成一个既有区别又有联系的认识，并能分门别类，对应解答.
　　总之，熟练掌握上述规律和结论，即能依据各自特征正确区别分组和分配，并灵活解决相关问题. 同时，把握分配规律，还能将一些其他的排列组合问题转化为分配问题解决.在这里不再一一赘述.
　　（责任编辑 黄桂坚）
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