笔算教学：要知“式”，更要达“理”

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　　摘要：竖式是笔算的一种书写形式，利用竖式计算是基于计算法则进行的。计算法则通常要满足运算定律，算理则为计算法则提供了理论依据。算理、算法是笔算教学的两大着力点，两者相辅相成。知“式”，即掌握算法，确保实现运算能力的最低要求——“正确”。达“理”，即明晰算理，给计算教学注入更多的根部营养，可以助力学生运算能力的提升。
　　关键词：笔算教学;竖式;算法;算理
　　笔算是常用的计算方法之一，通常借助竖式呈现演算过程，有相对严格、固定的运算顺序，有明确的计算法则。在笔算教学中，不少教师依然存在重算法、轻算理的现象，这在很大程度上影响了学生借助计算学习发展思维能力。下面以一名年轻教师执教“笔算两位数乘两位数（不进位）”一课为例，透视这一现象并提出初步的改进建议。
　　一、教学现象：知“式”并不达“理”
　　在出示主题图，学生列出算式 24×12之后，教师直接放手让学生合作探究该算式的计算方法。学生也不负“师”望，出现了多种计算方法：
　　①把12拆成2×6，先算24×2=48，再算48×6=288。
　　②把12可以拆成10+2，先算24×10=240， 24×2=48，再算240+48=288。
　　③用竖式计算24×12=288。
　　教师顺势引导全班学生观察竖式计算的过程和特点，强调了乘的顺序和部分积的书写位置等注意事项，总结出“两乘一加”的计算方法，随后顺风顺水地进入练习环节。练习1（见图1）在独立计算和全班核对中波澜不惊地过去了。练习2（见图2）的正确率却遭遇“滑铁卢”：全班31人，计算错误的有22人，错误率达70.97%。我们发现，错误点几乎集中在第二栏的填写，18人填成了“买（2）个热水瓶，应付（46）元”。
　　对比上述两道习题可以发现：练习1的三道笔算习题编排有层次，旨在由扶到放的过程中让学生掌握笔算两位数乘两位数的计算方法。练习2赋予竖式计算真实的问题情境，关注学生是否理解竖式中每一步计算的含义。70.79%的错误率至少表明这些学生对笔算两位数乘两位数的算理还不够明白。
　　笔者就“两位数乘两位数的笔算练习”对此班的练习情况进行了跟踪调查，发现了一个尴尬现象：在后续练习中，只要遇到类似图2中的练习，部分学生仍然会“执着”地出现类似上述的错误。这种题成了教师和学生的一个“心病”，感觉每次都在重复“昨天的故事”。那么，看似行云流水的教学背后，到底出现了什么問题呢？
　　二、问题分析：知“式”为何难以达“理”
　　1. 学生知“式”未知“理”
　　执教者通过课前测试，发现全班约78.4%的学生在寒假里对竖式有所预习和了解。正是这好看的数据，让教师直奔准确计算，忽视了对算理的追问。在学习笔算的过程中，师生的演绎只有“是什么”，没有“为什么”。
　　为了尽快地达成“准确计算”的教学目标，教师只是请个别优秀学生进行示范。个别示范之后的简单处理，让学生只知其“式”未明其“理”。这样的结果是，学习能力强的学生凭借经验和练习逐步完善，学习能力弱的学生就只能“雾里看花”，依靠模仿和纠错来巩固。当学生没有算理的支撑，依靠模仿和机械记忆学习笔算程式化的演算过程，出现上述错误就在所难免。
　　2. 教师重“式”未重“理”
　　在与执教者交流中，笔者发现执教者没有读懂教材和“课标”要求，他更关注规范书写竖式，固化笔算形式，进行正确计算，而丢弃了竖式产生的“理”。继续追问，原来执教者误解了“不进位”三字，认为“不进位”就是简单易学，没有难度。学生只要将三年级上册“笔算两、三位数乘一位数”的笔算方法和经验迁移至此即可。但实际笔算两位数乘两位数，学生的学习难点有三：
　　（1）形式上有差异。三位数乘一位数的积只有一层，两位数乘两位数的积有两层。两层不完全积是学生认识上的一次非常大的跨越。
　　（2）口算与笔算运算顺序有差异。口算24×12时，可以将12进行拆分，转化成24×10+24×2，先算24×10或者24×2均可，但是竖式计算规定先算24×2。
　　（3）每步运算过程中积的表征和对齐。第二个乘数的十位与第一个乘数相乘时，积的个位上的“0”不写，这样的表征方式引出了积的对齐问题。
　　执教者将“两位数乘两位数的笔算”简单地理解为两次“两位数乘一位数”笔算操作，再相加，忽视了学生学习的难点，忽视了对算理的探寻，没有让人为规定也能“讲道理”。
　　3. 教学有“式”未有“理”
　　教材的编排旨在引导教师给学生创设探究24×12的空间，让学生调动已有的知识经验，特别是利用乘法结合律、乘法分配律，从理解拆分求积的分步过程上升到借助竖式计算。
　　教师没有理解教材编排多样化算法的意图，忽视了寻找口算与笔算方法之间的联系。要注意的是，提倡算法多样化，要特别引导学生进行比较，打通不同方法之间的“隔离墙”。实际教学时，没有通过比较寻找“先算24×10=240，24×2=48，再算240+48=288”与列竖式计算之间的联系，更没有在比较过程中理解每一步计算的含义。
　　三、实践与思考：知“式”如何明“理”
　　基于以上思考，笔者就上述教学片段做了一些改进，并进行了课堂实践：
　　【教学片段】
　　出示主题图，引导学生阅读信息，提出问题，并列出算式：24×12。
　　师：估一估，大约有多少个？
　　生1：因为20×10=200，我觉得是两百多。
　　生2：我觉得比240还要多。因为10箱就240个，何况是12箱呢。
　　师：到底是多少个呢，你会算吗？把你的算法试着在点子图上表示出来。
　　学生独立尝试之后，全班交流。
　　生3、生4、生5分别结合点子图，解释各自的算法。（见图3、4、5） 　　师：比较这三种算法，你能说说它们之间有什么相同和不同吗？
　　生6：都是把12拆开算，但拆法不一样，后来计算过程也不一样。
　　生7：我发现每次拆，都是把12拆成两部分，再把两次算得的结果合起来。
　　生8：如果计算24×13，我觉得第二种拆算法就不方便了。
　　生9：我更喜欢第三种拆法，因为这样算更简便。之前两种算9×24或6×24都要进位，而24×10是两位数乘整十数，口算就可以了。
　　生9发言之后，学生们频频点头。
　　师：口算24×12我们都会了，而且选出了简便算法。竖式计算24×12又可以怎么写呢？自己试试看。
　　学生独立尝试，教师巡视发现四种典型写法。（见图6、7、8、9）
　　师：现在有四种不同的竖式，你会怎么评价呢？
　　生10：我觉得①不对，刚才我们估算的时候就知道答案比240还要多，不可能是72。
　　生11：我知道问题在哪。先算的48是两箱的数量，接下来应该算10箱的数量了，应该是240才对，他写成了24。他一定是被1“骗”了，这十位上的1应该是10，实际上是24×10。
　　生12：②的计算结果虽然正确，但过程有缺陷，看擦过的痕迹就能知道。我们看不清楚288是怎么一步步算来的。
　　生13：③挺清楚的，和刚才的口算过程很类似。
　　生14：③虽然清楚，但是④更简便啊，0不用写了。
　　生13：我觉得0不能省掉，这样很容易发生①的错误。
　　生13和生14谁也不能说服对方。班级对③和④也形成了不同的意见。
　　师：看来大家对这个“0”有不同想法了。那这个0能不能省写？如果能，那可以省写的道理又何在呢？我们不妨借助③一探究竟。
　　师生互动，借助学具卡片，联系点子图（图5）的圈算，逐步明晰竖式的每一层积的算法和意义。（见图10、11）
　　生13突然站起来了：老师，我明白240后面的那个“0”为什么不写了，因为竖式第二层的积总是用两位数乘一个整十数，积的末尾肯定会出现一个“0”，0加任何数还是原来的数，因此这个“0”可以省略不写。
　　师：省略0之后的24，表示什么意思？十位上的1乘24，第二層的积的末位写在什么位置？
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　　1.几何直观——悟算理
　　“几何直观”是《义务教育数学课程标准（2011年版）》十个核心词之一。顾名思义，几何直观的两大维度是几何和直观，就是依托、利用图形进行数学的思考和想象，让研究的对象“看得见、摸得着”。实际教学中，可以利用数轴、方格纸、线段图、点子图，帮助学生发现问题、理解题意、寻求突破。
　　在本节课中，笔者利用点子图，帮助学生在口算、竖式、直观图之间建立联系，巧妙地将算式与点子图相结合，将抽象的算理进行直观、具体化的处理。学生在分一分、圈一圈、算一算的活动中，把两位数乘两位数这一新问题转化为已有的经验，即两位数乘整十数和两位数乘一位数。点子图的运用，打破了教材主题图的局限，有利于多样化算法的出现，更有利于学生对多样化算法进行优化，发现按数位把一个乘数拆成整十数和一个一位数，计算更加简便。点子图的运用，为搭建竖式埋下伏笔。虽然这两种方法书写形式不同，但是算理是一脉相承的。这样，就让学生对笔算的算理有了一些初步的感悟。
　　2.大胆放手——辨算理
　　运算能力也是《义务教育数学课程标准（2011年版）》十个核心词之一，其三个外显特征是正确计算、理解算理、方法合理。运算途径简洁，是方法合理的自然结果。前面的案例中有两次全班交流辨析，分别出现在口算24×12和笔算24×12时。学生在第一次辨析中发现，按数位把第二个乘数拆成整十数和一个一位数，计算更加简便。在辨析过程中，学生对运算信息的挖掘、运算方法的选择、运算过程的简化等有了进一步的感悟。
　　口算的辨析为竖式的呈现搭建了“脚手架”。笔者在教学时大胆放手，让学生顺着“脚手架”自主琢磨竖式的写法。因为每个学生的学习背景和学习能力存在差异，课堂中出现了多样化、差异化的竖式，笔者摒弃了先前的个别的标准化示范，收集并展示了多个不同思维水平层次的学生的真实想法，让学生在比较中掌握竖式的正确写法、寻求竖式计算过程的优化、明晰竖式计算的算理，从而突破学习难点。
　　3.巧用教具——明算理
　　计算过程中，积的表征和对齐问题对学生来说是一个难点。在本课中，为什么第二次的不完全积的个位上的“0”可以省略，不能用“一般这样写”一带而过。教学中，笔者借助数字卡片，联系点子图的圈算过程，在“一遮一换”中让学生明白了每一步运算的含义，尤其是第二步“换0”的操作，让学生清晰地看到积的第二层0出现的必然性，以及可以“省0”的可行性。在生13的自觉评价中，可以清楚地看到学生在理解的基础上实现了思维拔节。
　　由此可见，研读教材不能停留于表面，应该注重溯源而上和顺流而下，运用整体性和结构化的思维厘清所教知识点在知识脉络中的位置，发现学生的思维盲点，进而有针对性地设计教学活动。就计算教学而言，教师应该依理驭法，学生只有明“理”才能得“法”。教师不仅要从认识上“法”“理”并重，更应依据学生原有认知，借助几何直观，给计算教学注入更多的“根部营养”，让学生在计算时有效地发展思维能力。
　　责任编辑：丁伟红
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