化繁为简 消元归一

来源:用户上传      作者:张云

　　摘 要：文章以“三元最值问题”的解题方法为例，从思想方法，解题策略，细节把控等方面来解剖这类题型的解法，从而给学生形成更加细致且有效的解题方法。
　　关键词：整体;放缩;消元
　　函数是高中数学的重要内容，它不但是高考重点考查的热点之一，而且其思想方法贯穿于高中数学的始末。而三元函数的取值范围问题是其中非常重要的题型，在各种考试甚至高考中经常涉及。在解题过程中，若能掌握解决的方法和技巧，恰当合理地进行消元，将会起到举足轻重的作用，从而达到快速解决问题的目的。下面举例说明消元在三个变量的取值范围问题中的应用，目的在于使学生对三个变量的取值范围问题有更加清醒的认识和深刻的理解，并能灵活地利用消元解决一些实际问题，以提高大家利用函数思想解决问题的能力。
　　分析：本题本质上就是已知三个变量的两个等量关系式，求这三个变量的乘积的取值范围问题。从方程的角度看，对于三个变量两个方程，其中两个变量均可由第三个变量来表示，从而最终代入所要求的取值范围的表达式中就可转化为一个变量的函数问题进行求解，但要注意变量的范围。
　　二、 整体法消元
　　问题就归结为将zx视为整体的一个变量的取值范围问题，利用基本不等式也可以使用耐克函数进行处理。
　　分析：已知三个变量的一个等量关系式，所以无法选用一个变量表示其他两个变量达到消元，只可以将所求的代数式转成两个变量的取值范围问题，那消去哪个变量呢？我们可以发现所求关系式是一个分式结构，而且这个分式的分子只含一个变量，分母含有两个变量，所以尝试用分母的两个变量表示分子中的变量。从而将三个变量的问题转化为两个变量的问题，同时转化的两个变量的分式是一个齐次式，可通过将一个两个变量的式子视为一个整体，这样就可转化为一个变量的函数问题进行求解。
　　三、 放缩法消元
　　分析：已知三个变量的一个等量关系式，可以先把所要求的取值范围的表达式用两个变量表示，但要继续转化为一个变量就不那么容易了。从已知条件可以发现，本题涉及三个变量都是正数，这是利用基本不等式的标志，所以尝试利用基本不等式进行放缩达到减元的效果。
　　分析：本题巧用基本不等式及其整体法将所求表达式进行放缩成一个变量的函数问题，再用基本不等式求最值。
　　四、 数形结合法
　　当我们所要求的三个变量的函数的结构形式与我们学过的一些公式（如两点之间的距离公式、斜率公式、点到直线的距离公式等等）结构类似时可考虑使用数形结合的思想方法。
　　分析：本题是已知三个变量的不等关系求一个代数式的取值范围问题。解决这类问题通常有两种方法，一是转化为线性规划问题，二是利用基本不等式进行放缩成一个变量的函数求解。一般地，如果已知的不等式次数较低或是齐次式或者所求代数式具有线性规划中我们研究的目标函数的明显特征，先尝试能否转化成线性规划;如若不能，则使用基本不等式进行放缩，但要注意等号能否取到。
　　面对目前纷至沓来的各地数学模考卷，笔者认为数学的学习不在于频繁的刷题，而是应该针对学生难以下手的問题进行系统方法的归类，让学生充分理解从而灵活运用。三个变量问题常常作为一张试卷的压轴题，难度可想而知，但只要我们充分梳理变量之间的相互关系，随题而变，多角度，多途径获得方法去尝试求解。让我们一起在总结归纳上多下功夫，引导学生走出难题的泥潭。
　　参考文献：
　　[1]杨珍辉.多个变量求取值范围问题的解法和探究[J].理科考试研究，2014（6）.
　　[2]张小臣.多元函数最值问题求解策略[J].中学数学杂志，2008（5）：41-44.
　　[3]王盛裕.多元函数最值问题求解的常用策略[J].中等数学，2002（4）.
　　作者简介：
　　张云，江苏省常州市，江苏省华罗庚中学。
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