建模思想在初中数学教学中的应用
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作者:方文昌
【摘要】数学建模是数学核心素养的重要方面，它体现了数学与生活的联系，即以数学模型为桥梁，通过对生活中的实际问题进行抽象与提炼，将实际问题“数学化”，然后将抽象出来的问题代入相应的数学模型之中，最终运用数学概念、公式及定理进行求解与验证。文章首先对数学建模思想进行概述，然后分析将数学建模思想应用于初中数学教学的必要性与可行性，最后提出数学建模思想在初中数学教学中的应用策略。
【关键词】数学教学；建模思想；应用
【中图分类号】G633.5【文献标志码】A【文章编号】1004―0463（2022）19―0083―04
《义务教育阶段数学课程标准（2017年）》要求在课程设计思路中体现模型思想，并特别指出：“在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的能力。”初中数学教学中应用数学建模思想，能够发展学生的数学思维，提高学生的数学应用意识，使其以数学模型的视角来观察生活，运用数学知识来解决实际问题。因此，开展数学建模思想的应用实践及探索，既是对新课程理念的积极响应，也是对学生数学核心素养发展的深刻体现。
一、数学建模思想概述
所谓数学建模，是为了解决生活中的实际问题，运用数学概念、公式、定理及法则形成一个数学结构，然后将“数学化”的问题与数学结构对应起来，以实现问题的解决[1]。数学建模思想本质上就是一种数学手段或数学工具，它体现了数学的精准性、简洁性、概括性的特点。数学建模思想的应用，通常要遵循四个步骤：问题情境化，模型准备阶段；问题数学化，模型建立阶段；问题得以解决，模型应用阶段；问题应用拓展，模型深化阶段。
关于数学建模的研究，尽管起步较晚，然而研究成果斐然。二十世o70年代初期，国内在农业、生物等生产领域出现模型思想，而美、英等国已将数学建模思想与教育教学深度融合，并产生了深刻影响。至80年代，国内高校针对大学生开设专门的课程――数学模型课。随后，大学生数学建模竞赛活动开始举办且渐趋丰富，数学建模思想自高等教育向基础教育领域渗透。但是，有关高中数学建模思想的研究及实践较多，而初中及小学阶段的数学建模成果较少。由于数学建模思想渗透不够，教师往往局限于“问题解决”本身，学生学起来吃力而低效。因此，教师应将“需求关联、抽象简化、建立模型、问题求解、模型检验”这一基本的数学建模步骤内化，并将其应用于初中数学教学中。
二、建模思想应用于初中数学教学的必要性与可行性
（一）数学建模思想应用的必要性
1.感受数学学习趣味。数学建模体现了数学的本质，即高度抽象[2]。当学生将实际问题转化为数学问题，并能够将数学问题与数学建模形成对应关系时，仿佛找到了解决问题的“金钥匙”，其科学探究的乐趣也正在于此。如果继续深入研究，在教师的指导下，学生将数学建模推而广之，能够解决某一类型的问题，这样借助模型学生能够对数学情境理解得更为透彻，对数学建模建立过程中的条件与假设、转化与抽象、猜想与论证更加得心应手。
2.培养数学应用意识。数学是一门应用性极强的学科，将问题解决与数学建模结合起来学习，既体现了学科属性，又赋予数学课堂以丰富的人文内涵[3]。数学建模的目的在于解决实际问题，学生将实际问题数学化或将数学问题生活化，体现在对数学建模的猜想、假设、探索、求证与应用之中，这将会培养学生的应用意识，提高学生的探究能力。从当前的初中数学教学实践来看，数学建模思想的渗透与应用较少，且多以教师的个人经验总结为主，对学生主体的关注度不足，这就导致学生害怕应用题。但必须指出的是，应用题是初中数学的重头戏，学生看不懂数学应用题，又难以在实际问题与数学知识之间建立有效联系，其背后的原因是数学建模意识不足。因此，教师在课堂上要重视数学建模思想的渗透及数学建模素养的培养，真正让学生通过数学建模思想实现“以学促用，以用导学”的学习效果，进而提高学生的数学核心素养。
3.发展学生思维品质。数学建模本质上是以数理逻辑来重构实际问题，当学生对问题情境进行简化与抽象时，其思维更趋于缜密，其思路更加趋于严谨，他们会对模型进行初步的假设或猜想，也会对特例进行验证或推导，这本身就是思维的发展与训练过程。学生在运用概念、公式、定理等进行假设与推理的过程中，思维更为灵活，更为高效。建模思想在小学数学教学中的应用，能够培养学生的抽象、概括、转化、推理等思维。学生在运用公式、定理等抽象化的数学模型解决数学问题时，对信息进行提取、加工与建构，能够培养自身的概括与抽象、类比与归纳、猜想与推理能力。可以说，数学建模思想将学生从单个的问题解决推向数学结构的思考，学生将实际问题数学化的过程，也是思维不断优化的过程，而从识记简单的数学公式或数学符号，到理解数学建模的结构、表征和变式，体现了从低阶思维到高阶思维的发展。
（二）数学建模思想应用的可行性
1.数学教学方式在不断创新。随着新课程理念的不断深入与持续推进，数学教学改革的力度也逐渐加大，教学方式不断创新。当前，在初中数学教学中，教师将实际问题与数学教学有机结合，将数学建模思想引入课堂，让学生“在问题中探究模型，在模型中解决问题”，既开阔了学生的数学视野，丰富了课堂学习气氛，又使数学建模思想的应用具有可能性。初中数学知识体量大，数学公式较为复杂，问题情境所涉及的条件隐蔽，学生理解起来吃力，应用数学建模思想，可以让学生借助数学模型达到“以简驭繁”的效果，并让学生体验到学习数学的信心。
2.学生思维能力在逐步提高。初中生正处于思维发展的黄金阶段，而数学能够让学生在抽象与概括、聚合与发散、逆向与顺向的过程中获得思维的训练。生活中的实际问题层出不穷，数学问题情境复杂多变，而数学建模则是从变中发现不变，即让学生有规律可循。万变不离其宗，“宗”即是特有的、核心的、结构化的数学模型，在初中数学教学中应用数学建模思想，让学生将实际问题转化为数学建模并正确求解，即是“以不变应万变”的原理。
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三、数学建模思想的具体应用策略
（一）深入教材内容，构建数学模型
部编版初中数学教材蕴含了丰富的数学建模思想。从方程到函数，从图形面积到向量问题，无论是数学符号的抽象表征、数学图形的直观呈现，还是数学公式的推理，无论是数量关系的表达，还是空间形式的描述，都指向一种抽象化、概括化、精确化的数学结构，即数学模型[4]。然而，教材中所涉及的数学问题，多是以问题情境方式呈现，它能够激活学生的生活体验，激发学生的探究意识，使学生树立“根植生活学习数学”的思想，但对数学模型的呈现较为模糊。这就要求教师能够将生活问题数学化，将数学问题类型化，以数学建模的方式在“问题”与“求解”之间构建新的桥梁。初中生已具备基本的数学抽象、数理逻辑能力，教师在学生刚开始学习某个公式或某一定理时，可以渗透模型意识，或让学生自主推导公式，对数学问题进行抽象与概括，或让学生对定理“变形”，提炼已知条件与未知条件，形成对教材知识的重构。这样，教师通过深入教材内容，提炼基本的数学模型，并将其内化为学生问题解决中的“数学结构”，使学生在“问题―模型”之间自由切换，灵活转化，那么学生将形成数学建模素养，其数学思维也获得相应的发展与训练。
（二）创设问题情境，渗透建模意识
数学模型与解决问题之间是相互依存，相互联系的[5]。因问题情境而建立数学模型，因建立数学模型而解决问题。在初中数学教学中，教师创设问题情境，渗透建模意识，就是让学生从数学模型的角度来抽象与简化、理解与分析、求证与检验问题。在讲授新知识时，教师可以通过“情境+问题链”的方式，让学生步步追问，层层深入，在探究的过程中培养数学建模意识。在习题联系时，教师可以通过“情境+问题变式”的方式，让学生熟知已知条件与未知条件，对问题能够举一反三，在思维发散的同时内化数学建模思想。比如，在“一次函数”教学中，教师可以创设问题情境：已知某小车所行驶的路程为y，在一定的范围内是其行驶时间x的一次函数，假设该小车为匀速运动，速度为k，现已测得小车的时速为110千米/小时，行驶时间为2.5小时，求小车行驶路程为多少千米？假设小车从甲地到乙地去，二者相距300千米，在从甲地驶出40千米后，再以90千米/小时的速度计时，那么小车需要继续行驶多少小时才能到乙地？从上述问题中不难发现，无论是求行驶路程，还是求行驶时间，都能够将实际问题转化为数学模型问题，即题目中所说的“一次函数”模型。由于题目中已经给出数学模型，因此数学建模过程可以省略，直接将条件代入一次函数解析式，即y=kx+b这一数学模型，正确求解即可。
（三）变式练习迁移，促进模型应用
分析近年来的中考数学试题，注重数学模型的考查，尤其是由两种或两种以上数学模型构建的复合模型，因为涉及知识面广，模型理解难度大，往往成为学生拉开分数差距的难题。因此，设计变式训练、变换模型的条件，让学生多角度、多情境、多层次理解与应用数学模型，内化数学结构，从而能够正确解决问题。众所周知，数学习题的训练，是为了找出其中的规律，并能够让学生将这种规律应用于同类型的问题解决之中，“熟能生巧”的道理即是如此。因此，对问题进行专项训练、分类归纳、迁移拓展，是数学建模思想应用的重要途径。因此，教师应精选习题，以典型性、趣味性、实用性的问题来激发学生的学习兴趣，通过对问题的“变形”或“变式”，让学生从原有问题到变式问题进行数学模型的有效迁移。这样，学生在分析变式问题的过程中，能够对数学模型了然于胸，进而达到熟练运用的地步。比如，在“一次函数”教学中，教师为了鼓励学生好好学习，可以对y=kx+b这一数学模型稍加变形，假设y是一个学生的综合得分，k是它的方向及方法，而x是努力程度，b是学生的起点。那么用一次函数图像的形式直观呈现，就可以看出这个学生得分是处于上升趋势还是下降趋势，将不同学生得分情况反映在图像上，就能进行直观比较与评价。这样，教师以变式训练的方式，不但加深学生对数学模型的理解程度，也对学生进行了情感激励教育，让学生从中感受到学习数学的价值与信心。
（四）及时总结反思，内化模型思想
“知”与“用”属于两个不同的学习层次，对数学模型的理解认知与熟练应用，体现了学生的思维品质发展程度，也是实际问题解决能力的重要体现[6]。不少学生从小学到初中，用功程度丝毫不减，学习态度依旧端正，然而数学成绩却一落千丈。究其原因，就是初中知识体量增大，学习难度加大，而简单沿袭小学的题海战术，采用机械记忆或套用公式的方法来应对，就会捉襟见肘。在初中数学课堂中，学生若不能及时总结反思，无法将生活问题数学化，那么学生学起来就会力不从心。比如，在“一次函数”教学时，教师可以布置开放性作业：让学生回家用卷尺量一下家人的鞋子长度（精确到0.1厘米），将鞋长记录下来，然后分别对应各自的尺码，对鞋长与尺码之间的关系进行数学猜想，尝试用一次函数的相关知识来建立数学模型。
探究数学建模思想在初中数学教学中的应用，需要教师引导学生在“解决问题”与“数学模型”之间建立有效关联，然后放手让学生自主探索，正确运用数学概念、公式或定理进行相应的求解。这就需要教师转变数学教学观念，提升自身数学建模素养，将数学建模思想应用于数学课堂教学中。当学生接触新知识时，教师应引导学生联系旧知识，聚焦数学概念、公式或定理，探究其中的“数学结构”，以渗透数学建模意识；当学生完成数学习题时，教师应鼓励他们“一题多解”或“多题一解”，尝试从中找规律，找联系点，以建立数学模型；当学生总结复习时，教师应贯通学生的生活与数学的联系，将实际问题转化数学问题，将数学问题抽象为数学模型，从而达到对数学模型“得之于心，应之于手”的熟练程度。
参考文献
[1]孙凯.初中数学建模活动的内容设计与组织原则[J].教学与管理，2021（22）：46-48.
[2]中华人民共和国教育部.义务教育阶段数学课程标准（2017）[M].北京：北京师范大学出版社，2017.
[3]蔡美玉.初中数学教学中数学建模思想的渗透[J].西部素质教育，2019（24）：72-73.
[4]李静.初中数学教学中学生数学建模素养的培养策略[J].A夏教师，2019（17）：09-10.
[5]孙凯.从问题类属谈初中生数学建模能力培养[J].数学通报，2020（12）：30-33.
[6]刘海燕.初中数学建模思想初探[J].现代教育科学，2011（04）：126-128.
编辑：张昀
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