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类比竖直面内几种圆周运动

作者: 刘洪光

  生活中的圆周运动多种多样,竖直面内的圆周运动是典型的变速圆周运动,对于竖直面内的圆周运动的问题,中学阶段只研究物体通过最高点和最低点的情况,并且经常出现临界状态,以下根据圆周运动的动力学方程处理几类竖直面上的圆周运动的问题.
   一、 汽车过拱形桥和凹形桥情形对比
  当汽车过凸形桥汽车做圆周运动,到达最高点时,汽车受到向下的重力和向上的支持力,这两个力的合力提供了圆周运动的向心力,方向竖直向下即指向圆心,依据圆周运动的动力学方程:mg-F=m .
  当v增大时,F减小,当F减小到0时,v= ,v> 时车将脱离桥面,发生飞车. 因此当汽车过拱形桥最高点时,为了汽车不腾空,要求行驶的速度不能太快,要小于 .
  当汽车过凹形桥时,汽车也做圆周运动,当过最低点时,汽车受到向下的重力和向上的支持力,这两个力的合力提供了圆周运动的向心力,由于圆心在最低点的正上方,因此合力竖直向上指向圆心,依据圆周运动列动力学方程:F-mg=m .
  依据表达式,当v增大时,F增大,当汽车过凹形桥最低点时由于速度过大,轮胎对桥面的压力很大,对轮胎和桥面都有磨损,因此过凹形桥最低点时汽车的速度也不能过大.
  比较过拱形桥和凹形桥时桥面受到的压力的大小,前者比后者压力小.
   二、 绳球模型
  如图3所示,质量为m的小球,被一长为r的轻绳系着在竖直平面内做圆周运动(不计阻力),分析小球在最高点和最低点的受力情况和运动情况.
  1. 在最高点时,对小球受力分析,一般小球的受力有两种情况:
  当v> ,小球受重力和拉
  力时,动力学方程:F+mg=m ;
  当v= ,小球只受重力作用,依据动力学方程mg=m ;
  当v< ,由于小球只受重力作用,过最高点的最小速度v= ,速度再小小球就不能过最高点,而是没到最高点就掉下来.
  2. 在最低点时,小球受力只有一种情况:
  小球受到向下的重力和向上的拉力,这两个力的合力提供了圆周运动的向心力,动力学方程为:mg-F=m .
  “绳球模型”的处理方法可以迁移到处理内侧轨道和水流星的问题中.
   三、 内侧轨道――翻滚过山车
  游乐场里的过山车可以底朝上在圆轨道上运行,游客却不会掉下来,要保证过山车安全通过最高点,对过山车过最高点时的速度有什么要求?
  过山车在竖直面内做圆周运动,其特点与“绳球模型”类似.
  当在最高点时,物体受到竖直向下的重力和竖直向下的支持力,
  依据动力学方程F+mg=m .
  从表达式中可知,物体的速度越大,物体与内侧轨道挤压得越紧,物体越不容易掉下来,当v= 时,物体只受重力作用,所受合力最小,这是能过最高点的临界条件,当v< 时,物体过不了最高点而会掉下来.
   四、 水流星
  许多人都看过杂技表演“水流星”,一根细绳系着盛水的杯子,演员抡起杯子,杯子就做圆周运动,不管演员如何抡,水都不会洒落,这里精彩的表演蕴含着深奥的物理道理.
  如果盛水的杯子是静止的,把他倒过来,水就会在重力的作用下洒出来,当把杯子抡起来到达最高点时,水做圆周运动,受到向下的重力和杯底对它向下的压力,两个力的合力提供了圆周运动的向心力.
  依据动力学方程F+mg=m ,
  从表达式中可以看到,只要v≥ ,则F≥0,水要受到杯底的挤压力,由牛顿第三定律得,水对杯子要有个向外的压力,v越大,水对杯底的压力越大,越不容易洒落,而v= 正是水和杯子顺利通过圆周运动最高点的临界值,因此演员只要保持杯子在最高点的速度不小于 ,他的表演总会成功.
   五、 轻杆模型
  如图7所示,轻杆一端固定一小球,小球另一端为固定转轴,杆� 固定轴在竖直面内做圆周运动.
  1. 在最高点时小球受力有三种情况:
  当小球只受重力作用时,由动力学方程:mg=m ,此时v= ;
  当v≥ 时,小球受到竖直向下的重力和杆对球竖直向下的拉力,两个力的合力提供向心力,由动力学方程:F+mg=m ;
  当0≤v< 时,小球受到竖直向下的重力和杆对球竖直向上的支持力,两个力的合力提供向心力,由动力学方程:mg-F=m .
  2. 在最低点,小球受力只有一种情况:
  小球受到向下的重力和向上的拉力,这两个力的合力提供向心力,由动力学方程F-mg=m .
   六、 细管轨道
  细管轨道理论上与轻杆模型相同,小球在竖直的光滑的细管圆轨道中运动,当在最高点时,管壁对球的作用力可能是支持力,可能是压力,也可能没有作用力.
  总之,竖直面内的圆周运动是圆周运动中的典型,通过对几种情况的讨论,能帮助学生建立圆周运动的模型,加深对问题的理解,有利于提高学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力,有利于培养学生创造性思维,建立良好的解题习惯,开阔学生的解题思路.


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