变则通，通则达
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作者: 张群
摘 要：在高中数学中转化思想已被广泛应用，人们在教育教学的过程中，对转化思想在应用过程中应遵循的原则、常见的方法等都有了广泛的研究。此外，在例题教学中，还要善于引导学生的转化思维，让学生明白一个数学问题为什么要转化为另一个问题来解决；引导学生如何转化，转化为什么样的问题来解决，让学生知其然，更知其所以然，真正领悟，并自觉地运用转化思想。
关键词：转化思想；课堂实例；数学思想
转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓所在。也正因如此，很多的一线教师、专家学者对这一数学思想方法应遵循的原则、常见的转化方法等做了很多的研究，有关的论著也时常可见。但是，对于“为什么要转化？如何理解转化？如何实现转化（即：为什么选择这样转化）？”这方面的研究却很少看见。在一线教学多年，我在这方面感触颇深，我认为教学中，关注这些问题也十分重要，这比学生空知理论、死记方法有意义得多，也只有这样才能让学生走进“转化”，自觉地使用“转化与化归”的思想方法，让学生真正掌握“转化与化归”这一思想方法，提升学生的能力。
教学中，我们要引导学生学会根据问题本身提供的信息，利用动态的思维，去发现“为什么一个数学问题需要转化为别的问题来解决”；多方式、多角度地寻求有利于引导学生“如何转化（即：为什么选择这样转化）”的有关信息。下面我就从这个角度，结合教学实际，通过一些教学实例谈谈自己的看法：
一、无限问题如何有限化
分析：（1）为什么要转化呢？
由于f（x）是一个函数，它的值是一个变量，它的值有无数个，而a是一个常量。要比较一个变量与一个常量的大小如何比呢？将变量中的每一个值与常量逐一比？显然是不现实的，为此，这个问题必须转化为另一个问题来解决。
（2）如何转化呢？转化为什么问题呢？
为了解决这个问题，我们可以通过一个生活实例来帮助学生理解，寻找转化的途径和转化的目标。
生活实例：现有某校高一（1）班的一位学生张三，你如何能又快又准地判断出：“张三比该校高一（2）班的任意一位学生都高（矮）”这句话是否正确？
根据生活经验，学生很容易发现：只需将高一（2）班最高（矮）的这位学生与张三比较，即可判断出这句话的真假了。因此，这个问题可以转化为“函数f（x）的最大值问题，即只需满足fmax（x）≤a即可。
二、看似无“解”问题如何有“解”化
例：设函数f（x）=ax-x（a>0且a≠1），若关于x的方程f（x）-a=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围。
分析：（1）为什么要转化呢？
如果从题目的本意看，想通过解方程的办法把方程的根解出来，将方程的根表示成关于a的表达式，再利用有两解这一条件来求a的范围，显然是不现实的。因为，就高中生现有的知识水平是不会解这样的方程的，因此，这个问题必须转化成另一个问题，换一个角度来理解。
（2）如何转化呢？转化为什么问题呢？
由于f（x）是一个函数，f（x）-a=0是一个关于x的方程，考虑到函数与方程的关系：
函数的零点？圳其相应方程的解。因此，可将：
方程的解的问题？圳函数的零点问题
？圳函数图象与x轴的交点问题
？圳两个函数图象的交点问题
又考虑到函数f（x）=ax-x（a>0且a≠1）不是我们所学的基本初等函数，它的图象不易得出。这时是否可以考虑“化未知为已知”，即将不熟悉的函数转化为熟悉的函数呢？显然，函数f（x）=ax-x（a>0且a≠1）是由指数函数f（x）=ax（a>0且a≠1）和一次函数y=x组合而成的，若将方程f（x）-a=0做一个简单的变形：ax=x+a（a>0且a≠1），就可以将这个方程的解的问题转化为f（x）=ax（a>0且a≠1），f（x）=x+a（a>0且a≠1）这两个函数图象的交点问题，即这个方程有两个解等价于这两个函数图象有两个交点，因此，可以通过两个函数的图象来寻找满足条件的a的取值范围。
三、繁杂问题如何简单化
分析：（1）为什么要转化呢？
从题目的题设和结论来看，这是一个二次不等式的证明问题，而且结论中含有绝对值，要想利用不等式的有关性质来求证，一时似乎很难找到思路。如果注意到题设条件的特殊结构――三角中的“平方关系”，因此，可以考虑转化为三角问题来处理。
（2）如何转化呢？转化为什么问题呢？
注意到题设中“a，b∈R，且a2+b2≤1”这一条件的特殊结构――三角中的“平方关系”，只需将a，b做一个简单的换元即可把它转化为一元的三角函数问题，利用三角函数的有界性来解决，如下：
世界数学大师波利亚强调：“不断的变换你的问题”“我们必须一再变化它、重新叙述它、变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”，他认为解题的过程就是“转化”的过程。从大师的话中我们不难看出，我们应当注重转化思维的全过程，一环扣一环方才能够解决问题。因此，我们在注重“转化与化归的原则、方法”的传授的同时，更应当注重引导学生理解、学会“为什么要转化？如何发现转化的方向？”等方面的教学，也培养了学生的分析、解决问题的能力。切忌空穴来风地告诉学生这个问题要转化，生搬硬套地告诉学生用什么方法转化，转化为什么知识来解决，弄得学生一头雾水，最多是知其然，而不知其所以然。
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