源自一道课本习题的探究、拓展

来源:用户上传      作者: 高磊

　　倡导积极主动、勇于探索的学习方式是新课程的基本理念.高中数学课程设立的“数学探究”“数学建模”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造了有利条件.在教学中努力“使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，以激发学生的学习兴趣，鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯”成为教师的基本职责.在数学教学过程中，教师有意识地选择典型问题，指导和引领学生进行探究拓展是培养学生实践能力、发展创新意识的重要途径.
　　就语义而言，据“辞海”的解释，“研究”指“用科学的方法探求事物的本质和规律”，“探究”则指“深入探讨，反复研究”.就数学问题的探究而言，是指对问题的规律性进行研究、对问题的条件与结论依存关系进行研究、对问题的解决策略进行研究，这些都是拓展性学习，有助于形成数学的知识体系、学习方式和思维能力.
　　众所周知，教材中的习题是编者精心挑选，再三酝酿后挑中的，具有典型性、示范性和针对性，既可以帮助学生理解基础知识、运用基本技能，又可以帮助学生掌握数学思想方法，进行思维训练.苏教版新教材在习题设置方面与旧教材相比有很大改进，涉及知识面很广，可供不同层次的学生选用，为教学提供了很好的素材.为了更好发挥教材习题的功能，教师首先要研究习题的内涵，挖掘课本习题类型，使习题的使用更具有针对性，更符合学生的认知特点，探索问题引申途径，以便更好地发展学生的数学思维.
　　通过上述思考解答，相信一定能够促进求曲线方程基本技能的掌握和思维的严谨.
　　二、改变构成命题的基本前提、条件假设和要求是探究的重要方法
　　数学命题一般都是包含前提、条件假设和基本要求几个组成部分，通过对它们的变更探究，获得对问题的本质认识，实现数学知识体系的丰富、完善，这是数学学习的拓展.通常可以采用单因素改变的方式，寻求新的认知.
　　本题中，构成命题的基本前提是给定的“两个定点”，假设的条件是“动点与定点的距离”，要求是“距离之比”.探究就是对基本前提和约定假设与要求可以采用单因素改变的方式，寻求新的认识.
　　基于几何中点与线的相似性，两点间距离和两点连线斜率可比性，四则运算的协调与统一，对本题进行如下的教学探究安排，以求获得比较全面的深化.
　　4.把“距离之比”改为“距离之和或距离之差或距离之积”
　　依然可以指导学生利用几何画板功能，进行轨迹形态的探索，教师指导当距离之和（差、积）在满足一定条件下，对应的轨迹为椭圆、双曲线和卵形线.
　　可以引导学生利用几何画板功能探求轨迹，教师要知道当符合一定条件下，对应的轨迹为椭圆、双曲线和卵形线.
　　上述教学实践，是教学过程中的一部分实录，虽是片段，却能完整地体现教学设计.作为一道习题的探究拓展，用了3个教学课时，不知是否妥帖.
　　当然，在上述实践的基础上，可以根据学习者的实际，采用多因素改变法，获得更加宽阔的视野，这也是归因分析中的重要智慧.如，我们可以探求动点与两定点连线斜率的乘积为定值时的轨迹，并且由于斜率的取值可以扩大到实数，因此解题就呈现丰富多样性.也可以探求与定点连线的斜率与定直线距离的各种运算制约下的轨迹等.
　　三、习题的探究拓展教学应当有明确的目标，并且适可而止
　　1.全面理解数学教学的本质，其根本任务是发展学生的数学智慧，尽管这样的探究拓展学习需要占用一定的教学课时，在教学中如何处理教学进度和学习能力的发展需要教师进行认真思考和研究.就个人的教学体会，适当地安排这样的教学实践活动，对学习者的自主学习习惯和学习能力的培养是非常重要的途径.
　　2.教学中的探究拓展性学习应当充分尊重学习者的基础，切忌盲目.在本题的探究拓展中，尤其是2.4的内容，本人仅利用几何画板作了必要的介绍，因为方程与曲线的关系以及方程推导还是有一定的技术难度的.探究拓展时为了巩固技能，形成知识体系，不能因为难度而影响学习者自主研究的积极性和兴趣.
　　3.培养学生的探究拓展习惯和能力需要教师的不断努力.如果教师对问题的认识和处理的价值追求正确深刻，学生一定会努力的.
　　（作者单位 南京财经学校）
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