对反证法的初步认识

作者:未知

  【摘 要】反证法是数学中的重要证明方法。反证法尽管不如直接法普遍,但反证法在一些数学命题的证明中往往能起到直接法所起不到的作用,不少数学命题的证明当使用直接证法比较麻烦或比较困难甚至不可能时,如能恰当使用反证法,就可以化繁为简,化难为易,化不能为可能。下面我将叙述什么是反证法,反证法的论证形式,反证法的使用场合及如何想到用反证法,还提及了反证法使用的注意事项以及举一些使用反证法的例子。
  【关键词】反证法定义;论证形式;适用场合;注意事项
  【中图分类号】G421 【文献标识码】A
  【文章编号】2095-3089(2019)12-0262-01
  前言
  公元前六世纪数学中就引入了数学证明思想,到公元前三世纪,欧几里得将数学证明思想得到了推广。《几何原本》里就出现了归谬法,也就是反证法。而我国古代,也出现了这样的一个例子。相传晋初竹林七贤之一王戎小时候与玩伴玩累了看到道路两旁的李子树上挂满了例子,其他孩子都竞相爬上树摘李子或者捡地上散落的李子,只有王戎在一旁无动于衷。别人问:为何你不去摘李子呢?王戎说道:这棵李子树长在路旁而树上依然挂满了李子。如果李子不苦,早就被人摘光了。现在李子没人动,说明李子一定是苦的。其他孩子半信半疑地尝了一口,真的是太苦涩了。
  其实王戎就已经在生活中运用到了反证法的思想。为了证明李子苦,先假设李子不苦,则李子早就被摘光,与如今满树的李子没人摘矛盾,从而说明了李子是苦的。
  反证法的思想在生活上很多地方都要渗透运用,包括一些案件的侦破都会用到反证法,动漫《名侦探柯南》里面就运用到很多,反证法也帮助我们侦破了很多现实生活中的案件。反证法不仅在数学上得到应用,在其他学科也有所应用,甚至是文科。
  反证法不仅是初等数学里常用必需的方法,也是高等数学里面重要的思想方法。教师应该在初一就开始渗透,初二初三不断加强,高中阶段巩固,大学时候再有所拔高。
  一、反证法的定义
  先假定命题中结论的反面成立,推出和命题中的假设、或以前学过的定义、公理、定理、或已知的事实、或临时的假定等相矛盾的结果,从而断定命题结论的反面不可能成立,从而断定命题中的结论成立,这种证明方法叫做反证法。也称作是归谬法。
  反证法实质上是证明原命题的逆否命题。
  数学中的一些命题只能用反证法来证明,反证法对学生的要求很高,需要思维开阔,推理严密。一般来说,反证法证明命题有三个步骤:①反设:否定结论,假设结论的反面成立;②归谬:从反设和题设出发,进行严密推理,导出矛盾;③存真:有矛盾得出原命题成立。
  反证法相对于平常的直接证明的方法来讲,是一种间接的证明方法。非常考验学生的逻辑推理能力,要用与平常相反的思路去推理,层层推进,环环相扣。
  二、反证法的论证形式
  1.使用反证法的命题的类型有两类。
  (1)第一类是证明命题A为真,A的表现形式如“什么是什么”“什么不是什么”“什么可能怎样”“什么不可能怎样”;
  (2)第二类是证明“若p则q”为真。
  2.根据产生矛盾的不同情况反证法分为七种论证形式。
  (1)根据命题A的反面出发,推出和定义、公理、定理、或已知的事实相矛盾的结论。
  (2)从命题A的反面出发,推出自相矛盾的结论。
  (3)从命题A的反面出发,推出和反设相矛盾的结论。
  (4)从命题“若p则q”的结论的反面出发,推出和命题题设相矛盾的结论。
  (5)把命题“若p1与p2则q”的结论的反面加入到命题的部分假设中,推出和命题另一部分题设相矛盾的结论。
  (6)把命题“若p则q”的结论的反面加入到命题的部分假设中,推出和反设相矛盾的结论。
  (7)把命题“若p则q”的结论的反面加入到命题的部分假设中,推出和定义、公理、定理、或已知的事实相矛盾的结论或自相矛盾的结论。
  三、反证法的使用场合,常适合用反证法的命题
  1.否定式命题,形如“不……”、“没有……”、“不是……”、“不可能……”。因为数学中的定义定理都是肯定形式的,因此用来证明否定的反面比较方便易奏效。
  例1:证明sinn 不收敛。
  证明:假如sin n 收敛,令limn→∞sinn=a,则令limn→∞[sin(n+2)-sinn]=0。又sin(n+2)-sinn=2cos(n+1)sin1,故limn→∞(n+1)=0。另外cos(n+1)=cosncos1-sinnsin1,从而limn→∞sinn=0,这与sin2n+cos2n=1矛盾。
  例2:证明y=cosx不是周期函数
  证明:假设y=cosx是周期函数,则T>0,x≥0都有cosx=cosx+T。特别地,取x=1,则cos1=cosx+T,则1+T=1+2kπ,则T=4k2π2+4kπ。又取x=0,则cos0=1=cosT,则T=4k2π2。所以可得4k2π2+4kπ=4k2π2,即π=kn2-k2为有理数,矛盾!
  例3:一个有理数等于它的绝对值,那么这个数是非负数。
  证明:假设这个数是负数,则它的绝对值就是它的相反数,是一个正数,则这个数的绝对值不等于这个数本身,与已知条件矛盾。所以这个数是非负数。
  2.“至多”与“至少”命题,形如“至多……”、“至少……”、“最多……”、“最少……”、“不多于……”、“不少于……”等
  例4:已知f(x)=x2+ax+b,求证|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于12。
  证明:假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于12,则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<12+2·12+12=2。另一方面,因為f(1)=1+a+b,f(2)=4+2a+b,f(3)=9+3a+b,则f(1)-2f(2)+f(3)=2,   从而2=|f(1)-2f(2)+f(3)|≤|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|,矛盾!
  3.“存在性”与“唯一性”命题。
  例5:两直线相交,只有一个交点。
  证明:假设直线a和直线b至少有两个交点。设这两交点为A和B。那么直线a和b都经过这两点,即经过点A和点B可以作两条直线a和b。这与公理“经过两点有且只有一条直线”矛盾。从而假设不成立,则原命题成立。
  例6:不存在关于x的多项式f(x)和关于y的多项式g(y),使得他它们的乘积f(x)g(y)等于多项式x1980y1980+1
  证明:假设存在这样的两个多项式f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an g(y)=b0ym+b1ym-1+b2ym-2+…+bm ,使得f(x)g(y)=x1980y1980+1 (1)。
  令x=0,则f(0)=an。代入(1)得f(0)g(y)=1。此式对任意y都成立,于是g(y)=1f(0)=1an。同样,令y=0,则g(0)=bm。代入(1)得f(x)g(0)=1。此式对任意x都成立,于是f(x)=1g(0)=1bm。下面令x=y=0,则f(0)g(0)=1,即anbm=1。由于对任何x,y都有f(x)=1bm ,g(y)=1an,所以f(x)g(y)=1anbm=1。这就是说,f(x)与g(y)的积恒等于1,然而,x1980y1980+1并不是对所有的x,y都等于1,这就得出了矛盾,所以x1980y1980+1不能表成f(x)g(y)的形式。
  4.“都是”、“不都是”“都不是”与“任何”命题。
  例7:a,b,c是实数,且满足a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证a、b、c都大于0.
  证明:假设a<0,∵abc>0,∴bc<0. 又ab+bc+ca>0,∴ab+ca>0,a(b+c)>0。故(b+c)<0。又从a<0及a+b+c>0得(b+c)>0,矛盾!故a<0不成立。同理可证得b<0,c<0也不成立。另一方面,我们由abc>0又可得a,b,c皆不等于0.所以a,b,c都大于0。
  例8:已知a和b都是正有理数,而a和b都是无理数,证明a+b也是无理数。
  证明:假设a+b为有理数,因为a+b≠0则a-b=a-ba+b①。
  因为有理数四则乘法运算是封闭的,所以由①可知a-b也是有理数。
  则(a+b)+(a-b)=2a为有理数,从而a为有理数。与已知条件
  矛盾。因此a+b也是无理数。
  四、什么时候想到用反证法
  在什么情况下用反证法,这是学生最大的疑惑。同时如果假设出问题的否定形式,在一些问题中也是难点。
  当对一道证明的命题毫无头绪时候,就应想到尝试用反证法。尝试从正面证明相当的困难,怎么也走不下去的時候,或需要运用到的知识点是我们根本没有学到的,此时不妨想一下用反证法可能有意想不到的效果。
  当往证的命题是前面3介绍的形式的话往往应该想到反证法,因为这涉及“反证假设的设定是有得到的结论的否命题”, 因为数学中的定义定理都是肯定形式的。例题中出现“没有”“只有”“不存在”这种唯一性、存在性的问题。或者是“不……”“没有……”“不是……”“不可能……”“不都是”“都不是”这种否定式命题。或者是“至少有一个”“至多”“都是”、“任何”这些形式的命题。
  五、使用反证法应注意
  在运用反证法时候一定要明确自己要证明的是什么,关键要围绕原命题进行验证。并且要确保对定理公理掌握十分到位且能够灵活应用,才能使用好反证法。否则掌握理解不够深刻的话,容易让解题变得更复杂,无法得出证明。
  不要滥用反证法,对于一个数学命题,如果能用直接证明法且比较简单,就要尽量用直接法,不要滥用反证法,反证法不是万能的。
  要做出正确的反设,注意是所有结论的否定,必须一一做出反设,并在后面的推理论证中一一加以否定。
  正确写出理论说法后,往往看不到矛盾点,有认真观察,大胆尝试把反证假设作为条件尽量往各个角度各个方向延伸,直至到矛盾点。
  写出反面假设后,要注意有时候可用特别情况开证明,如特别地,去x=1,x=0,如上面例题证明y=cosx不是周期函数。
  参考文献
  [1]唐德论.反证法及其应用.湖南教育出版社出版.
  [2]王连笑.反证法漫谈.天津人民出版社.
  [3]朱华伟,钱展望.走进教育数学数学解题策略.科学出版社.
  [4]李丹丹.反证法在中学教学中的应用[M].哈尔滨职业技术学院学报,2013.
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