微积分的基础概念——极限

来源:用户上传      作者:刘明月

　　【摘要】高等数学用一句话来概括就是：极限为源，函数为体，算子（微分、积分等）为用。所以极限的概念和性质，可以说是整个微积分知识体系的基础。如果不能深刻体会极限的思想，将会把整个微积分知识体系学得支离破碎。本文将从概念和运算两个方面详细阐述极限思想的重要性。
　　【关键词】一元函数极限  连续性  导数  微积分
　　【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）49-0149-01
　　微积分发展至今，具有一套成体系的推理和运算，由求极限到求导数、求微分、求积分，层层深入，互相关联。而极限的概念和性质，可以说是整个微积分知识体系的基础。
　　函数是一种对应关系，即自变量集合到因变量集合的对应，也就是A随B变，A就是B的函数。而极限就是在自变量某种变化的运动形势下对因变量变化的最终趋势的描述，它是微积分里的一个基础概念，也是研究微积分的重要工具和指导思想。[1]
　　 古希腊哲学家芝诺曾提出四个悖论对数学乃至哲学都产生了巨大的影响。其中芝诺的第二个悖论是“阿基里斯（荷马史诗中的善跑者）永远追不上一只乌龟”。若乌龟的起跑点领先阿基里斯一段距离，阿基里斯要想追上乌龟必须首先跑到乌龟的出发点，而在这段时间里乌龟又向前爬过了一段距离，此过程如此进行下去直至无穷，所以阿基里斯永远追不上乌龟。事实上我们知道：能追上。可该如何解释这个悖论呢？这个问题让人想不通的根本所在是，它是无限的，人不能用有限的想象去解释无穷的世界。 [1]下面，让我们从了解极限的概念开始，去走进无穷的世界。
　　 极限的概念，从感性语言上去理解，是一种渐近变化趋势。比如无穷数列{an}的极限，是指当它的项数n无限增大时，它的通项an无限接近的某一个确定的常数a，记作an=a，也称数列{an}收敛于a。 [1]这就涉及到两个集合之间的变化和关联：一个集合是自然数集，作为无穷数列的项数;而另一个集合是无穷数列所对应的集合。当项数渐渐增大时，数列会无限趋近于极限值a。所以求极限是一个动态过程，最终求出的极限值是数列無限接近但永远也取不到的值。理性语言描述此动态过程时，便要借助于邻域：当n无限增大时，可假设存在正整数N，当n>N时，有|an-a|<ε（ε是任意小的正数），即所有N项后面的数列的项都会落在以a为中心，以ε为半径的邻域内，邻域半径ε趋近于0时，数列就无限接近于此邻域的中心a。
　　发展到一元函数的极限，就要比数列的极限复杂得多。因为数列极限里的项数n只能由1渐变到+∞，且n只能取正整数，正整数没有紧密连续性，所以只有一种渐变趋势：n→ +∞，an→a即an=a。但一元函数的自变量x可以取到无限多的紧密连续的实数，所以就有了六种变化趋势：（1）当x→+∞时;（2）当x→-∞时;（3）当x→∞时;（4）当x→x0+时;（5）当x→x0-时;（6）当x→x0时。[2]每一种变化趋势，也都可以用邻域来描述，比如第（6）种，可以描述为：当|x-x0|<ε（ε为任意小正数）时，即自变量x落在以x0为中心，以ε为半径的邻域内时，有|f（x）-A6|<δ（δ也为任意小正数），即因变量f（x）会落在以A6为中心，以δ为半径的邻域内，则可记作f（x）=A6。其余五种情况亦可如此借助于邻域来描述。有了这种描述的方法后，即可把动态的渐变过程予以量化，给人以一种严密的逻辑推理过程。
　　由一元函数的极限再发展到二元函数、多元函数的极限，自变量的增多致使渐变路径更加复杂，本文将不予考虑，只考虑一元函数的极限。
　　极限的这种动态渐变过程，奠定了整个微积分体系都是一种动态的渐变过程，比如无穷小量和无穷大量并不是定量，它们是在某种变化趋势下极限为零或者无穷的函数。函数在某一点（x0，f（x0））上连续，只需满足f（x）=f（x0）即可。导数的定义为自变量增量分之因变量增量比值的极限，即f '（x0）==，导数的实际含义即为“变化率”，几何含义为（x0，f（x0））点处的切线斜率。微分的实际含义为“增量的主要部分”，简称“增量主部”，Δy=AΔx+ο（Δx），dy=AΔx，则dy≈Δy，彼此之间相差一个高阶无穷小，而高阶无穷小的定义又来自于极限。积分的含义更是离不开极限，定积分就是一个和式的极限f（x）dx=f（ξi）Δxi，几何含义是由x=a，x=b，y=f（x）和x轴所围成的曲边梯形面积的代数和，引申出来可以解决一切“不规则”事物的求和型运算。这一切无不是一个渐近的动态过程。所以整个微积分都是建立在极限的渐近动态思想之上的，如果对极限理解不好，将直接影响到高等数学学习的效果和深度。[3]
　　而且各个基础概念之间互相关联，本质上很统一。在极限的运算过程中，也有所体现。比如当计算在x0点处的极限时，能直接代入x0值就直接代入，如（x2+x+1）=12+1+1=3，这是因为初等函数f（x）=x2+x+1在x0=1处是连续的（由其图像可直观看出），再结合连续的定义式f（x）=f（x0），可得到极限计算的代值法。若遇到分式求极限正好与导数定义相符，则可用求导公式来计算，如=（）'|x=4=|x=4=，反之求导公式也都是由求Δy与Δx比值极限推出来的。而在涉及到变上限（或变下限、变上下限）定积分时，更是考查对整个微积分整体思想的理解，如===0，求极限、求导和积分的问题在此题中得到了完美的结合！
　　综上所述，极限是整个微积分的基础，如果不能深刻体会极限的思想，将会把整个微积分知识体系学得支离破碎。
　　参考文献：
　　[1]曹治清.高等数学[M].上海交通大学出版社，2017：12.
　　[2]郭运瑞.高等数学[M].西安交通大学出版社，2010：12.
　　[3]吴赣昌.微积分（上）[M].中国人民大学出版社，2011：1.
　　作者简介：
　　刘明月（1981.08-），女，汉族，河北衡水人，硕士研究生，讲师，研究方向：微分方程及其应用。
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