发挥数学模型的作用

来源:用户上传      作者:曾庆丰

　　数学教学实际上是数学模型的教学。本文以“最短路径问题”为例，谈谈在数学模型教学中发展学生数学核心素养的一些思考。
　　创设情境，孕育数学模型。通过学生已有的知识和生活经验来创设问题情景，并融入新知识的生长点，是进行教学预设的出发点和开展教学活动的发起点。教师可以出示如下题目：如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
　　我们可以把笔直的河抽象成一条直线马（A地）和帐篷（B地）分别抽象成两个点M、N（图2）。连结MN交直线于点P，由“两点之间，线段最短”可知：牧马人到河边点P处饮马，可使所走的路径最短。教师通过牧马人饮马来创设问题情景，并融入学生熟悉的“两点之间，线段最短”公理，其公理是本节课“最短路径问题”的“最近发展区”。这样设计，既体现了学生的年龄特点和认知规律，又为“最短路径问题”的导入做铺垫。
　　抽象转化，发展数学建模能力。在教学中，教师应适当地铺垫、启发和引导，注重数学模型发生、发展与形成的探究过程，帮助学生积累建模活动经验。
　　教师可以出示以下例题：如图3，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？教师可以引导学生把河抽象成一条直线马（A地）和帐篷（B地）分别抽象成两个点M、N（如图4）。现在问题便转化为：在直线上求作一点P，使“PM+PN”最短。
　　由上面的引例，我们可以这样引导学生：如果点N在直线的另一侧就好了，可不可以转化呢？也就是说，能不能在直线的另一侧找到一点N'，使点N'和N点到直线上任意一点的距离都是相等的呢？不改变问题的实际背景和结论，只改变帐篷的位置，一是减少背景对学生思维的干扰，保持思维的连贯性;二是启迪学生将新问题转化为旧知识，感受转化的自然性与合理性。
　　演绎推理，发展推理论证能力。教学中，教师应注重数学模型在形式化几何命题中的计算、演绎、推理，并渗透知识之间的内在联系和逻辑关系。
　　教師可以出示如下例题：如图5，设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC上任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别记为s和t，求s2-t2的值。
　　由于点P是BC边上任意一点，当点P与点C重合时，PA+PM的值最大，此时，①[s=CM+CA=][CA2-AM2+CA=2+3];作点M关于BC边的对称点N，连接AN交BC边于点P，连接MP，则“PA+PM”的值最小。连接CM、CN，由中垂线的性质和等腰三角形的“三线合一”，得CN=CM=[3]，∠1=∠2=∠3=300。②在Rt△ACN中，[AN=AC2+CN2]=[7]。综合①、②，得：[s2-t2=（2+3）2-（7）2=43]。
　　摆脱模型的实际背景，从形式化的几何命题出发，将模型嵌入等边三角形中，并且融入动点问题，旨在增加问题的宽度。在求最小值时需要运用等边三角形、勾股定理、中垂线等相关知识，让学生在分析、转化、计算、推理等思维活动中，提升运算求解和推理论证的能力。
　　（作者单位：襄阳市第七中学）
　　责任编辑  张敏
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