初中几何常见辅助线的添加技巧
来源:用户上传
作者:黄雅梅
“人说几何很困难，难点就在辅助线”，该怎样添加辅助线，一直是让学生最头疼的问题.初中数学几何题型添加辅助线的现状一般如下：掌握添加辅助线技巧的学生，在遇到需要添加辅助线的题型时，往往能准确添加恰当的辅助线，迅速解题;有些学生遇到添加辅助线的几何证明题时，不知道该往哪方面入手，产出害怕的心理;大部分学生不知道如何在错综复杂的几何图形去添加合适的辅助线;有些学生认为添加辅助线是靠运气的，随便添加就可以了，运气好问题就会自然解决;辅助线的添加技巧难度很大，没有特定的模式，得长期磨练，不合适的辅助线会使图形变得更凌乱，使问题变得更复杂，不利于学生发现和展开解题思路;学生停留在模仿做老师讲过题型，遇到需要添加辅助线的新题型束手无策.针对初中数学几何题型添加辅助线的现状，我们需要掌握几种常见图形添加辅助线的技巧.
一、三角形中常用辅助线的添加技巧
1.在等腰三角形中，常见辅助线添加技巧一般有：①作底邊的高（或者作底边的中线或顶角平分线）;②倍长一条腰;③平移腰，使其构成一个新的等腰三角形.
例：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D、E在底边BC上，AD=AE，
求证： BD=CE.
思路分析：由题目知AB=AC，AD=AE，△ABC是等腰三角形，所以△ADE也是等腰三角形 ，而所求线段BD、CE在底边BC上，过顶点A向底边BC作高，可以根据等腰三角形“三线合一”的性质来证明BD=CE.当然，也可以证明△ABD和△ACE全等，然后得出BD=CE.
2.在直角三角形中，常用辅助线的添加技巧一般有：①过直角顶点向斜边作高;②在直角三角形的斜边上作中线或加倍延长一条直角边，将图形转化为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质解题;③构造新的直角三角形.
3.在全等三角形中，常见辅助线的添加技巧一般有：①构造中心对称型全等三角形;②构造轴对称型全等三角形;③根据图形的特征恰当作辅助线，构造旋转型全等三角形;④通常出现有对应边平行、同位角相等时，可以考虑平移型全等三角形;⑤构造翻折型全等三角形;⑥构造全等三角形.
例：如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，E是AC边上的其中一点，BE和AD相交于点F，如果AE=EF.证明：AC=BF.
思路分析：根据三角形全等来证AC=BF.由图可以看出AC、BF所在的三角形不是全等三角形.可以把AC、BF移到同一个三角形，根据等角对等边来证明.
4.在相似三角形中，常见辅助线的添加技巧一般有：①作平行线;②根据“三点定形”构造相似三角形.
例：如图，DF与AB相交于点E，DF与AC相交于点F，DF与CB的延长线相交于点D，BE=FC.求证：DF∶DE=AB∶AC
思路分析：题中要证明线段与线段之间的比例相等，但给出的图形中没有相似三角形，过点E作EG与AC平行，这样可以找到与DF∶DE和AB∶AC有关相等的线段比，有利于证题.
二、 四边形中常见辅助线的添加技巧
1.在一般四边形中，普遍地，将四边形转化为三角形是解决四边形的主要思路.所以，在一般四边形中常用辅助线的添加方法有：①连对角线;②延长对边;③根据题中已知的特殊条件，将一般四边形转变成特殊四边形和三角形两部分.
例：如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=3，则AB=（ ）
A.4 B.5 C. D.
思路分析：由题目∠A=60°，∠ABC=90°，可以联想到把AD、BC延长，使其交于点G，则可得出含有30°的直角三角形，从而四边形问题可以转化到三角形问题中去解决.
2、在平行四边形中，常用辅助线的添加技巧一般有：①把平行四边形中的对角线连接起来，以便构造全等三角形;②平移对角线;③过顶点向两边作垂线;④把顶点延长与一边的中点连线，使图形转变为三角形;⑤过平行四边形的顶点，作对角线的垂线;⑥将一边的中点与对角线的交点连接;⑦延长以一边的中点作为端点的线段.
3.在梯形中，常用辅助线的添加技巧一般有：①作垂线;②平移其中一条腰，将一梯形分成一个三角形和一个平行四边形;③延长两腰;平移梯形的一条对角线，将梯形变成一个三角形;④将梯形的对角线连接，使梯形分为若干个三角形;⑤将梯形的一个顶点和一条腰的中点连接，使梯形构成一个三角形;⑥过一条腰的中点向另一条腰作平行线，使梯形割补成平行四边形.
三、多边形中常见辅助线的添加技巧
在题中遇到多边形时，一般将多边形问题转变成三角形和特殊四边形问题来解决.
四、圆中常见辅助线的添加技巧
圆是初中数学几何的重要组成部分，与圆有关的几何题型很多都需要通过添加辅助线来完成.若能准确确添加相关的辅助线，问题便可以迅速解决.在圆中常见辅助线的添加技巧一般有：①作弦心距;②连半径;③作弦心距且连半径;④连接弦;⑤作直径;⑥连公共弦或连连心线;⑦作公切线.
虽然添加辅助线的方法千变万化，但也是有规律的，只要我们认真观察，反复推敲，就会容易看出它们的规律所在.兴趣是最好的老师，学生不能因为不懂如何添加辅助线就害怕而退缩，而是要多做、多练、多总结.遇到需要添加辅助线的题型时，首先应认真分析，找出合适的辅助线.通过深思、多想、勤做、善总结，必然性和规律性便容易凸现，遇到无从下手的问题便逐步减少.
转载注明来源:https://www.xzbu.com/1/view-15278231.htm
