基于Dulac函数的捕食-食饵模型的定性行为
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作者:吴玉敏 李福坤
摘要：为解决传统捕食-食饵模型对定性行为中极限环的不存在性判断时间较长的问题，为此对基于Du-lac函数的捕食-食饵模型定性行为进行研究，并对食饵常数投放率进行计算。验证模型定性行为的必然持续性，为平衡位置的计算提供充分必要条件，由Dulac函数判别模型极限环的不存在性，计算出定性行为的平衡点。通过实验论证得出，捕食-食饵模型相比文献！模型判断时间缩短0.4mino
关键词：捕食者;极限环;Dulac函数;定性行为
中图分类號：0175.12;017.26
文献标识码：A
文章编号：1001-5922（2020）07-0150-04
0引言
在生态系统中食饵的充裕性和丰富性对捕食者发展具有深远影响，其影响因素包括生存空间规模以及.栖息地空间等，因此在研究捕食-食饵模型时要与实际情况相贴近。在该模型研究过程中，对捕食者提供额外食饵补充所产生的影响以及在生态调控中的作用成为研究热点，将模型具有的常数投放率和收获率的定性行为作为研究方向，讨论该模型的平衡点状态，使捕食-食饵模型一类食饵具有常数投放率的定性捕食行为。而Dulac函数在研究微分方程定性理论领域内起着关键作用，能够对捕食-食饵模型定性理论中极限环的不存在性进行充分判断，因此利用捕食-食饵模型对食饵常数投放率进行计算时，Dulac函数的运用十分重要。并且由于其正解的持久性主要依赖于收获力和对额外食饵的吸收，指出Dulac函数的一般构造方法，表明额外食饵补充对捕食-食饵模型结果好坏的影响，并对Dulac函数的构造进行了总结和探讨。利用Dulac函数对模型极限环不存在性的问题进行讨论，运用环域定理得到正平衡点周围极限环的存在与唯一性的相关条件，从而对具有常数投放率的捕食-食饵模型的全局稳定性进行分析，通过极限环存在的唯一条件得到平衡位置，实现捕食和食饵2个种群的共存。
1计算捕食-食饵模型定性行为平衡位置
1.1验证模型定性行为的必然持续性
首先验证捕食-食饵模型定性行为的持续必然性，捕食和食饵两个种群的变化规律随时间的变化而变化，因此其定性行为的持续必然性，即验证两个种群能否一致持久生存是计算捕食-食饵模型定性行为平衡位置的前提"。具有常数投放率的捕食-食饵模型是通过建立生物数学模型来反映种群的变化规律，并且由于种群本身周期性的出生和死亡等因素，获得种群一致持久性的条件尤为重要，因此在验证捕食-食饵模型定性行为的持续必然性时，要将流行病以及时变因素作为影响因素并加以充分考虑。
对受流行病影响捕食-食饵模型加以分析，设易感食饵为S，捕食者的死亡率为r，捕食-食饵模型的捕食者为I，患病食饵为Y，捕食者的捕获率为P，模型最大环境承载量为t，捕食者对食饵的营养转化率为K，则食饵患流行病的生态流行趋势计算公式为：
其中b为捕食者对患病食饵的捕获因子，且b>l;代表患病食饵持久的充分必要条件，且0<0Sl;
K代表患病食饵灭绝的充分条件。根据式（2）可知，捕食-食饵模型的正平衡点是渐近稳定的。
根据捕食者持久生存和疾病流行的阈值条件对Lyapunov函数进行构造：
式（3）中的U代表Lyapunov函数;V表示捕食者持久生存的阈值条件;V代表捕食者疾病流行的阈值条件。
根据该模型获取受流行病影响的捕食-食饵模型全局吸引的充分条件，证明该模型存在支持自身稳定性的Hopf分支，也就是受流行病影响的捕食-食饵模型，其捕食者和食饵定性行为存在必然性。
除了流行病影响因素，时变因素也是具有常数投放率的捕食-食饵模型需要考虑的重要条件。因此在时变因素验证过程中，选择常微分方程和具有常数时滞的时滞微分方程，并且受幼年捕食者以及食饵从出生到成熟的周期时间，还应选择有年龄一结构的偏微分方程，结合幼年阶段生长过程以及捕食者对食饵不分年龄进行捕获等实际情况，使得年龄结构成为捕食-食饵模型中最重要的特征之-2。由（1）可知食饵具有Logistic增长率，设幼年食饵和成年食饵在时刻的密度分别为X{i）及X<i），幼年食饵的死亡率与当前幼年食饵的比例为y（i），出生后进入到成年食饵中所占的比例为a（），可得食饵密度计算公式为：
根据食饵密度得出捕食-食饵模型的疏散特征，即通过定义捕食者的净再生数，能够验证模型定性行为的一致持久性和全局渐近稳定性。至此完成模型定性行为必然持续性的验证，为定性行为平衡位置的计算提供了充分必要的前提条件。
1.2Dulac函数判断极限环的不存在性
利用Dulac函数对具有常数投放率的捕食-食饵模型的极限环进行判断，当该区域内的极限环不存在时，则捕食和食饵两个种群在该区域内全局渐近稳定，是模型定性行为的平衡稳定区间。设具有常数投放率且功能反应函数为C，食饵种群的常数投放率为h，基于捕食-食饵模型正常数平衡解的局部性态得到C一M关系式。模型常数解的基本性态如图1所示。
设捕食者的捕获率为b，处理时间为c，捕食者间的强度为e，食饵为u，捕食者为v，体现物种间相互干扰的一项为ceuv，则C-M关系式的反应函数为：
由此可得出处理时间c的具体数值，设捕食-食饵模型的平衡点坐标为R（x，y），则模型平衡点的解为：
模型在R（x，y）内无极限环，其点R也是捕食-食饵模型的稳定点，捕食和食饵2个种群在R内定性行为全局趋于平衡稳定的状态。其捕食-食饵模型定性行为的轨线相图如图2所示。
由图2可知，当R内无极限环时，捕食-食饵模型定性行为的轨线无限趋近于点R，捕食者和食饵两个种群能够得到共存。
当obcabes0时，则R（x.y）周围存在唯一稳定的极限环。设捕食者的死亡率为m，食饵向捕食者的转化率为B，食饵的环境容纳量为k，R内具有光滑边界的有界开区域为2，捕食者的功能反应函数为1+u其中a为食饵的内禀增长系数，则极限环内的平衡态公式为： 使x>0，y>0得，则捕食-食饵模型围绕点R存在唯一稳定的极限环，其定性行为在平衡点R附近呈稳定的周期振荡状态。至此完成了捕食-食饵模型定性行为平衡位置的计算。
2验论证分析
为验证本文模型对定性行为中極限环不存在性判断的有效性，与文献捕食-食饵模型进行对比实验，以亚洲长角甲虫和树皮甲虫为实验对象，二者分别对应捕食与食饵。利用两种模型对实际案例进行分析，并进行数值模拟，应用MATLAB2010（a）软件来验证理论结果的正确性。实验中数值模拟的参数取值如表1所示，其中x和y分别代表亚洲长角甲虫和树皮甲虫：
本次测试环境为挪威槭树，在该树上亚洲长角甲虫的产卵率较高，校准参数c的取值取决于挪威槭树类型，数值模拟中的时间尺度以月为单位计算。改变捕食者的千扰系数，则食饵和捕食者的种群密度会呈现出周期振荡，两种实验模型在测试时，当食饵与捕食者在极限环的振荡中共存时，则捕食和食饵两个种群得以稳定共存。共设置10次实验，并记录两种模型对极限环不存在性的判断时间，如图3所示。
根据图3实验数据，可得文献[3]模型判断时间为1.7min，本文模型判断时间为1.3min，相比文献[3模型缩短了0.4min，验证了本文捕食-食饵模型的有效性。3结语
文章针对传统捕食-食饵模型中，对极限环的不存在性判断时间较长的问题，设计了一个基于Dulac函数的捕食-食饵模型。通过Dulac函数对极限环的不存在性进行判断，并计算出定性行为的平衡位置，当极限环不存在时，相应参数下捕食和食饵两个种群在此区间内能够实现共存，并最终保持在计算出的平衡位置上，当唯一稳定的极限环存在时，两个种群均不会灭绝，其种群数量在平衡位置附近，呈现稳定的周期动荡。并通过对比实验，验证了捕食-食饵模型能够缩短极限环的不存在性判断时间的有效性，但本文在细节方面还存在不足，例如没有考虑到捕食者依赖于自身密度而提高捕获概率的情况，除此之外，还忽略了食饵和捕食者成熟期对模型的影响，希望在今后的研究中将其改善。
参考文献
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