金融时间序列的随机波动模型评述

来源:用户上传      作者: 方 媛

　　【摘要】本文总结了在过去几十年中金融资产收益的随机波动,即模型的发展过程,讨论了迄今随机波动模型估计的主要方法,其中特别讨论了MCMC方法。最后指出了现在和未来该领域研究所面临的主要问题。
　　【关键词】随机波动模型马尔科夫链蒙特卡罗方法资产收益
　　
　　一、引言
　　
　　波动性建模是金融市场近几十年来的热点问题。在波动率模型中,有两类模型的应用最为广泛:自回归条件异方差模型(ARCH)和随机波动模型(SV)。前者将波动率视为过去信息集的确定函数,即波动率是滞后平方观测值和前期方差的函数;后者则被认为波动率由潜在的不可观测的随机过程所决定,即在波动率方程中引入一个新的随机变量,该变量可能服从马尔科夫过程,随机游走或其他。
　　SV中新的随机变量的引入,使得无论是从长期波动性的预测能力来看,还是从波动率序列的稳定性、抑或对资产定价理论的应用来看,它都是优于ARCH类模型的。但是,也正是因为SV模型中包含着潜在变量,涉及的似然函数和无条件矩要通过高维积分来计算,极大似然法不能直接求解。基于贝叶斯的MCMC模拟为SV模型的估计提供了切实可行的方法。计量的大多数模型可以通过Eviews等常见软件得以估计和检验,而基于贝叶斯的MCMC方法则要求助于新的软件包WINBUGS。
　　
　　二、基本的随机波动模型及其扩展类型
　　
　　金融时间序列模型建模的意义在于拟合数据,刻画金融数据的一些特征,并在此基础上进行检验和预测。自Taylor(1986)提出了基本的离散时间SV以来,很多学者为了更好地刻画金融时间序列所显现出来的一些特性,如尖峰厚尾、平方序列的长记忆性等,对模型提出了一系列扩展。基本的随机波动模型为:
　　下提出的,它包含着以下假设:首先,收益的扰动?着t服从正态分布,进而收益序列也服从正态分布;其次,?着的扩展,这些扩展主要包括厚尾性、非对称性、长记忆性等几个方面。
　　1、带厚尾的随机波动模型
　　Cappuccio、Lubian(2004)提出了基于另外一种厚尾分布的偏GED随机波动模型(偏GED-SV),不仅对收益序列的厚尾性,还能对它的非对称性进行刻画。
　　在收益残差序列用t分布或GED分布来测度其尖峰厚尾性时,与实际中典型的金融时间序列相比,其峰度还是偏低。Bovas、Ranjini等(2006)还提出一种刻画尖峰厚尾性的伽马随机波动模型(?祝-SV),其形式为:
　　ht是伽马随机变量,其密度函数为:
　　数为?姿的指数分布,N服从均值为plog(1/?准)的泊松分布;Uj,Ej,N之间是相互独立的。基于对样本内分析表明?祝-SV捕获尖峰厚尾性以及平方收益序列自相关函数的缓慢衰减特征时,与数据表现出的特征更符合。
　　2、非对称的随机波动模型
　　有学者发现在牛市和熊市中,收益的条件均值明显依赖于前期的涨跌,方差对过去收益的反映也是非对称的,在坏消息影响下的方差比好消息情况下趋于更大,即所谓的杠杆效应。基本SV模型中假设收益和波动过程的误差项是两个相互独立的过程,因此没有考虑到金融市场尤其是股票市场上的杠杆效应。Jacquier、Nicholas、型GJR-GARCH进行比较。从对数似然函数值,SC准则和MSE、MAE值等方面的综合分析得出,ASV对波动不对称性的描述较之GJR-GARCH模型更优。
　　在基本的SV模型之上建立起的ASV在刻画波动的非对称性上向前进了一步,Faruk(2005)进一步在ASV基础上比较新兴股票市场与成熟股票市场的波动率,发现前者的波动率变化大于后者,并且波动率的持续性与波动率的变化成反向关系,与杠杆效应的大小也是负相关。
　　3、受外生因素影响的随机波动模型
　　在金融资产收益的波动受到一些外生因素的干扰而发生变化时,可以将这些外生因素考虑进SV模型。如考虑非交易日对金融序列收益的影响可用虚拟变量法。类似的外生解释变量还有季节因素、周末效应、成交量等。
　　 实证表明,基于上述模型估计的参数都有较高的显著性,与金融市场的波动特性也是一致的。
　　4、门限随机波动模型
　　Mike(2002)提出一种门限随机波动模型(THSV),它不仅考虑波动率非对称性,还能分析均值本身的非对称性。在THSV中,基本的均值和方差的线性结构被融入门限非线性结构中,其自回归动态由过去信息值来实现。
　　那么,THSV模型形式如下:
　　可见,通过引入一个贝努利变量,基本的随机波动模型的均值和方差的自回归动态以一个分段线性结构的形式包含到门限非线性结构中来了。
　　在t-1期,当股价由于坏消息而下降时,rt-1<0,且St=0;反之,如果t-1期受好消息影响,则rt-1≥0,St=1。THSV模型同基本的SV模型不一样,它是非线性的,在刻画非对称性的问题上,它不仅反映波动率的非对称5、长记忆性的随机波动模型
　　Bredit(1998)提出了长记忆随机波动模型(LM-SV)。波动率的长记忆性是指波动率序列的自相关系数依负幂指数率衰减的性质。Bredit在基本SV中引入分整自回归滑动平均(ARFIMA),从而为剔除日历效应的高频收益率提供了分析基础。
　　对LM-SV的估计一般采用伪极大似然估计法(QML)。
　　韩伟、李钢(2006)在利用FFF回归对高频数据的日历效应滤波后发现,基于LM-SV,新数据的波动率持续性有了很大程度的降低。
　　Luis、Juncal、Fernando(2008)等在LM-SV中引入内生的结构性断点,进而分析了断点对长记忆性模型的影响。
　　6、其他扩展
　　Taylor最早提出的离散随机波动模型实质为对数一阶自回归过程,邱崇洋、刘继春、陈永娟(2006)将其扩展至更为一般的形式,即波动率方程是对数ARMA(1,1)过程:
　　采用ARMA(1,1)形式的随机波动模型在拟合实验中被认为是可行的。
　　三、模型之间的选择
　　SV模型除了最常用的对数自回归形式以外,还有许多其他形式,如平方根波动过程、正常波动形式等。如何在众多的模型形式之间选择便成了一个问题。Yu(2002)提出非线性BOX-COX转换,将基本SV转换为非线性SV,这种转换后的BOX-COX-
　　SV模型概括了现有文献中的多数SV形式。SV的模型选择问题也变成了BOX-COX-SV模型参数的估计问题,不同参数对应不同的模型类型。BOX-COX转换形式如下:
　　BOX-COX转换使得SV模型更一般化,解决了在不同形式间选择的问题,同样为了刻画收益的特征,需将厚尾性、非对称等特性考虑进来。Zhang和King(2003,2004)先后将厚尾性和非对称性的扩展重新引入BOX-COX转换的模型中来,而许启发(2005)进一步讨论了基于BOX-COX-SV模型的矩属性和平方序列的相关性,从而刻画了平方序列的长记忆性特征,并与非对称GARCH模型―EGARCH比较,得出BOX-COX
　　-SV更优的结论。
　　四、随机波动模型的估计方法
　　基本随机波动模型的估计有许多不同的方法,这里主要介绍马尔科夫链蒙特卡罗(MCMC)方法,以及简单介绍几种其他方法,如蒙特卡罗极大似然法(MCML)、Laplace逼近法(LA)。

　　1、MCMC方法
　　基于Gibbs抽样的MCMC方法则能够对其进行估计。MCMC方法在计算SV时的优点在于,误差小,在估计参数的同时,得到H的平滑值,而无需通过非线性滤波来求得。MCMC方法的思想是构造一个具有平稳分布p(?兹/y)的马尔可夫过程,充分长地运行此过程,能够使最终的分布与该平稳分布充分接近。
　　以基本SV模型形式为例说明SV族模型的MCMC估计。
　　2、其他估计方法
　　在SV的估计方法中,除了基于似然函数的伪极大似然法(QML)、模拟极大似然法(SML)等,还有一类将SV模型视为状态空间模型的估计方法。如Junji、Yoshihiko(2005)提出了将SV视为非线性状态空间模型时,用Laplace逼近法(LA)来对其进行估计。LA方法估计的原理是在过去观测值二阶泰勒展开的条件下,先逼近当前观测值和波动率的联合密度,再运用非线性滤波法则。基于非线性滤波的还有非线性滤波极大似然法,它的优点是建立在严格的似然函数基础上,产生精确的似然函数值,计算量小,克服了蒙特卡罗极大似然法(MCML)中的线性状态空间的限制。Clements(2006)提出离散非线性滤波(DNF)对潜在变量模型进行估计,则进一步在不影响精确性的前提下,减小了运算量。
　　五、总结和展望
　　前面我们回顾了迄今金融时间序列的随机波动建模的发展历程,并探讨了模型的估计方法,重点介绍了基于贝叶斯的MCMC方法。随机波动模型在过去的研究中取得了较大进展,但仍有众多问题值得进一步深入研究,主要包含以下几个方面。首先,一元随机波动模型向多元的拓展。拓展的关键在于如何估计多元随机波动模型,只有解决了估计问题,才能为波动协同持续问题以及动态组合研究提供基础。其次,连续时间模型的进一步研究。连续时间模型为金融产品及波动性建立模型,并应用于期权等金融衍生产品的定价,在估计问题上,如何做到精确性和运算简便性的兼顾是一个问题。最后,随着市场发展的需要,以小时、分钟甚至秒为单位的高频数据运用的越来越广泛。因此,对高频数据的建模就显得尤为重要。如何利用便于获得的高频数据建模并对经济现象进行分析,也是往后发展的一个方向。
　　
　　【参考文献】
　　[1] Cappuccio.N,Lubian.D.MCMC Bayesian estimation of a skew-GED stochastic volatility model.Studies in nonlinear dynamics & econometrics,2004.
　　[2] Bovas A,N.Balakrishna,Ranjini S.Gamma stochastic volatility models[J].Forecasting,2006(25).
　　[3] Manabu A, Michael M. Non-trading day effects in asymmetric conditional and stochastic volatility models. Econometrics Journal, 2007(10).
　　[4] Luis A,Gil-Alana,Juncal C,Fernando P D G. Stochastic volatility in the Spanish stock market:a long memory model with a structural break, The european journal of finance,2008(14).
　　[5] 许启发、张世英:Box-Cox-SV模型及其对金融时间序列刻画能力研究[J].系统工程学报,2005,20(4).
　　[6] A.Clements,S.Hurn,S.White. Estimating stochastic volatility models using a discrete nonlinear filter,NCER working paper,2006.
　　(责任编辑:张琼芳)
　　

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