突出关联的数学学习

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　　有关联的数学学习，指学生在数学学习过程中通过结构化的关联材料、多元化解决问题的策略对比，从而建构相对完善的知识系统，形成正确的数学学习观的过程。这一学习过程富有挑战性、批判性。“乘积哪个大”这节课是基于学生的学情进行设计的，从学校“KFS第二课堂”的后台数据看，部分比较大小的乘法题错误率较高，其中三道题的数据均低于50%：（40+4）×25○11×（4×25）得分率41%，257×75○256×76得分率39%，342×248○343×247得分率24%。从单道题的运算上看，学生的得分率就高很多，比如，（40+4）×25的运算学生很少会出错，11×（4×25）的运算学生也很少会出错，但是将两个算式放在一起比大小，出错率明显就高很多。像257×75○256×76、342×248○343×247这两组数据，面对这样大数据的比较时，精确计算的学生容易出错，又很难在短时间内选择一种比较好的方法比较出大小，所以出错率相当高。可见，当两个算式发生关联时学生就容易出错，关联能力需要关注。笔者结合课例谈谈如何组织学生进行有关联地学习。
　　一、材料结构性关联
　　一份好的学习材料是组织学习的前提，如何让好材料发挥出更大的功效是一门学问。材料间的组织要注意结构化，可以是纵向的知识关联，调动学生原有的知识经验，也可以是横向的板块联通，如数形结合等。
　　【案例1】
　　教师从最后一题逐题出示，让学生估计得分率可能会是多少（见表1）。
　　师：你估计一下最后一道题为什么得分率会这么低？
　　生：因为数据太大了。
　　生：因为计算很麻烦。
　　生：因为三位数乘三位数我们还没有学。
　　师：三位数乘三位数我们虽然没有学，但是还有36%的同学做对了，非常棒！
　　（出示上面三题的得分率）。
　　师：你有什么想说的。
　　生：前面是两位数乘两位数，后面是三位数乘两位数，最后是三位数乘三位数。有联系的。
　　师：几年级学的呢？
　　生：三年级学习了两位数乘两位数，这个学期我们学习了三位数乘两位数。
　　师：为了方便研究，我们就先取前三题进行研究。仔细观察，你发现了什么？
　　生：这几道题的和是一样的。
　　师：顺着他的思路我们可以研究一下这几题有什么判断的秘诀。
　　（小组合作研究和、差、积之间的关系）。
　　通过研究发现，这些和一样的算式，差越小，乘积越大。
　　这份材料的结构性体现在纵向的知识关联，本学期研究的三位数乘两位数是基于两位数乘两位数的基础进行延续，是自主建构三位数乘三位数计算方法的基础。两者乘积的大小可以通过精确计算来判断，也可以通过规律来判断。让学生感受到同类型的题有相同的规律可循，增强规律意识。
　　【案例2】
　　首先，观察周长面积材料联想（见图1）。引导：长方形周长相等、面积如何变化？达成共识：在周长相等的情况下，长和宽越接近，面积越大。
　　其次，观察几何画板演示联想（见图2）。 引导：是不是所有的長方形都存在这样的规律呢？
　　你发现了什么？达成共识：周长不变的情况下，长和宽越接近，面积越大。
　　最后，三组材料对比关联（见图1，图2，表2）。
　　师：三组材料之间有什么关联？
　　生：我发现它们之间的道理是相通的。
　　生：长方形的长和宽就是两个乘数，“长和宽越接近，它的面积就越大”和“两个乘数的差越小，乘积就越大”是有联系的。
　　师：你的眼光非常犀利，几个材料放在一起比，发现了一个共同的特点。
　　沟通数与形之间的关联，利用关联迁移方法，并灵活选择策略判断，是教学的难点所在。面对乘积大数据的比较，学生容易产生畏难心理，如果让学生们知道有些很巧的方法可以快速解决，学生们会更喜欢数学。数的运算是很枯燥的，如果单纯告诉他们“和相等，两个乘数越接近，积越大”，很多学生是不理解的，只会套用一下结论而已，通过将长方形、正方形的周长面积问题进行关联，学生发现道理是相通的，能更好地构建知识。
　　二、策略多元化关联
　　这节课的目标是理解乘法算式的意义，并学会快速比较两组算式乘积的大小，通过观察、对比、数形结合等策略积累比较经验，并能灵活比较乘积哪个大，发展数感、运算能力，激发学好数学的积极情感。
　　【案例3】
　　师：（出示4道题及得分几率，见表3）对比不同的解题思路，有什么不一样？
　　师：请他们来说一说自己的想法。
　　生1：第一道我是通过估算比大小的。把96估计成100，100×30=3000，右边95也估成100，48估成50，100×50=5000，3000<5000，所以右边大。
　　生2：96比95才多1，另一个乘数48比30多了18，肯定右边大。
　　生3：左边表示30个95加1个30，右边表示40个95加8个95，右边大。
　　师：看来估算能解决比大小的问题。第二题如何比的呢？
　　生1：左边表示48个125，右边表示14个125，左边的大。
　　生2：用计算。
　　师：第三题与第四题的思路，大家有什么不同的比较方法吗？
　　生1：128×10可以表示9个128加1个128，比右边的多100。
　　生2：右边的28加100就与左边一样了。
　　生3：第四题的左边算出来是1000+100=1100，右边是11×100=1100，所以相等。
　　生4：左边表示44×25，右边也表示11和4先乘，再乘25，也是44×25。
　　师：你利用了什么规律？ 　　生4：乘法结合律。
　　师：刚才有同学运用了乘法的运算律快速地比较出两个算式的大小。精确计算与估算及意义转化比大小，你们比较喜欢哪一种？
　　（大部分学生喜欢估算和意义转化）
　　师：是不是精确计算就没有价值了呢？
　　生：不是，精确计算可以保证结果的准确性。
　　生：精确计算可以用来验证。
　　小结达成共识：在判断乘积哪个大的时候，有时可以利用乘法意义来判断，有时候可以通过估算来解决，有时候可以利用运算律来转化意义再比较大小，如果一下子没有办法看出来的，可以用精确计算来判断。
　　在判断两个乘积大小的时候，主要有估算、意义转化、精确计算、找规律等策略，这份材料将这些多元化的策略集结到一起，让学生进行思辨。什么样的情况用什么策略进行比较是学生数感及运算能力的重要体现，策略关联对比能提高学生思维的灵活性与批判性。
　　三、应用价值性关联
　　数学是解决问题的工具，同时，数学的问题解决过程应该是自然而然、愉悦互动的过程。学生要学会用数学的眼光观察世界，这是数学核心素养能力之一。培养数据分析意识，让学生直面数学问题，有利于学生数学应用价值观的形成。
　　“乘积哪个大”的课堂教学设计，基于大数据的背景而设计，基于真实的问题而展开。这节课以后台的两个数据包A、B为载体，在呈现数据包A、B的时候，让学生猜题目的得分率，引发学生的好奇心，推测错误的原因，用头脑风暴的方式培养学生的发散性思维能力，在错误中思辨，在对比中建构。
　　【案例4】
　　在练习环节组织学生快速口答以下题目。
　　32×28（   ）33×27
　　72×22（   ）63×31
　　172×22（   ）63×131
　　最后一題，通过规律判断交流之后，提问：还有不同的方法快速比较出答案吗？
　　生：172估成170，22估成20，170×20=3400;63估成60，131估成100，60×100=6000;明显右边大。（此处有掌声）
　　追问思考：学了规律后一定是用规律判断最简便吗？
　　生1：不是，有些很明显的可以通过估算快速得出。
　　生2：有些复杂的算式不能用这个规律。
　　生3：我发现这个规律在有些乘数之和不一样的算式中也可以用。不过需要进一步验证。
　　师：同学们很会思考，的确，规律只能帮我们解决一部分的问题，在规律不能使用，估算值也比较接近，意义转化比较不方便的情况下，哪种方法更合适？
　　生：精确计算。
　　师：看来，不同的方法有不同的使用价值。
　　在巩固练习的环节安排了最后一道计算题，如果套用规律时间上会花得更多，反而是估算能马上得出结论。在呈现多种方法后，让学生对如何选择合适的方法进行判断，通过这样的讨论活动让学生形成正确的问题解决观，深度学习自然而然地发生。
　　有关联的数学学习过程是复杂的数学学习过程，可以通过材料的结构化选择进行关联，通过问题的系列化设计，学习策略多元化的对比关联，让学生形成正确的数学观，让数学学习更有深度、有广度、有温度。
　　（作者单位：浙江省义乌市绣湖小学教育集团）
　　责任编辑：肖佳晓
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