粒子滤波技术研究和分析
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作者: 仵小暾
摘 要： 非线性非高斯状态空间模型的最优估计问题在信号处理、自动控制、金融、无线通讯等领域具有重要的应用，粒子滤波技术通过非参数化的蒙特卡罗模拟方法来实现递推贝叶斯滤波，适用于任何能用状态空间模型表示的非线性系统，滤波精度可以逼近最优估计，其有效性已经得到各领域研究人员的极大认可，基本粒子滤波算法存在的最大问题是粒子退化，针对这一问题，对权值退化、重要性函数选取、重采样等影响粒子滤波器性能的关键技术进行深入研究。
关键词： 高斯状态空间；粒子滤波技术；权值退化
中图分类号：TP391.41 文献标识码：A 文章编号：1671－7597（2011）1210104－01
1 概述
1.1 研究背景和意义
近几十年来，在统计学和各种工程领域中，许多专家学者都致力于动态系统实时估计问题的研究和分析，发源于17世纪英国牧师T.R.Bayes的贝叶斯理论为动态系统的状态估计问题提供了严格的理论框架，它利用所有的已知信息来构造系统状态变量的后验概率密度函数，即用系统模型预测状态的后验概率，再利用最新的观测值进行修正。状态的各种统计值如均值、方差等都可从后验概率密度函数中计算获得。
20世纪90年代初，随着计算机计算能力和存储量的迅速提升，一种基于贝叶斯递推和蒙特卡罗方法的实时在线仿真算法――粒子滤波器，逐渐受到人们的重视。粒子滤波器是一种基于仿真的方法，它利用状态空间中一组带权值的随机样本粒子逼近目标状态变量的概率密度函数，每个样本代表目标的一个可能状态，可以得到目标状态的最小方差估计。该算法不受模型线性、高斯假设的约束，适用于任意非线性非高斯动态系统。
应用粒子滤波方法，可以有效的进行非线性系统的状态估计，估计得到的状态的统计特性比传统的参数化线性近似方法更为准确，近些年来已成为统计学、信号处理、图像处理、自动控制、人工智能等领域新的研究热点。因其具有灵活、易于实现、并行化、应用前景广阔以及有效处理非线性问题等特点，目前在众多领域都得到了广泛应用。
1.2 粒子滤波技术的研究现状
粒子滤波技术作为一门新兴学科，仍有许多关键问题没有得到根本解决，目前对粒子滤波技术的研究主要集中在以下两个方面：
1）提高粒子滤波器的性能，这是本文讨论的内容。
2）扩展粒子滤波的应用领域。
2 粒子滤波技术
2.1 粒子滤波技术描述
对于非线性非高斯状态空间模型，应用粒子滤波器可以得到最优状态估计。但是作为一种新的滤波方法，粒子滤波技术还处在发展阶段，还存在着许多有待解决的问题。粒子滤波作为一种基于贝叶斯框架的滤波算法，在处理非高斯非线性时变系统的参数估计问题方面有独到的优势：应用贝叶斯定理对动态系统状态的统计特性进行估计，估计误差受系统的非线性程度影响较小；应用蒙特卡罗方法使得算法的收敛性和收敛速度与状态空间的维数无关；整个算法的适应性很强，可应用于各种不同领域。
首先描述分析粒子滤波理论知识和算法流程：
粒子滤波器（PF）[1]是贝叶斯估计和蒙特卡罗方法的结合，是求解系统状态估计问题的一种实用方法，其思想是利用一系列随机抽取的样本以及样本的权重来计算状态的后验概率分布。当样本数增至无穷大，蒙特卡罗模拟特性与后验概率密度函数表示等价，从而滤波精度可以逼近最优估计。粒子滤波算法不需要满足系统为线性、噪声高斯分布、后验概率也是高斯型的限制条件，同时由于粒子滤波算法具有贝叶斯估计的时域递推结构，因此和卡尔曼滤波算法一样，不需要存储所有时刻的历史数据，计算时也仅需要上一时刻的估计值和当前时刻的观测值。可以看出粒子滤波算法对非线性非高斯系统滤波问题的解决有着独特的优势。
粒子滤波算法最初是应用序贯重要性采样方法来实现目标状态估计的，该方法存在严重的权值退化问题，在粒子经过几次迭代之后，粒子的分布改变了，不再能够近似表示目标后验概率分布，再利用这样的粒子进行目标状态估计将降低粒子滤波器的性能。为了解决这一问题，后来在粒子滤波算法中加入了重采样步骤。现在的粒子滤波算法一般分为序贯重要性采样和重采样两个部分：
2.1.1 序贯重要性采样
重要性采样是蒙特卡罗方法中一种常用的采样技术。在采样过程中，如果不能直接从目标概率分布中采样，可从一个同目标概率分布相近且易于取样的概率分布中进行采样。
2.1.2 重采样
在粒子滤波器中，随着时间的推移，重要性权值经过若干次迭代后，在极端情况下会发生某一个粒子的权值趋于1，而其余的权值都趋于0，大量的计算工作都被用来更新那些对后验概率密度的估计几乎没有作用的粒子上，这种现象称为重要性权值退化。重采样的基本思想就是抛弃那些权值很小的粒子，然后通过复制权值较大的粒子来代替它们。
最基本的重采样算法是多项式重采样（multinomial resampling）。另外常用的重采样算法还有分层抽样（stratified resampling）、系统重采样（systematicresampling）、残差抽样（residual resampling）等，它们都是在多项式重抽样的基础上提出的，要么能减小重要性权值方差，要么能减小重采样系统复杂度。其中残差抽样是最常用的，它的权值方差较小，并且运算量也比其它几种算法小。
2.2 基本粒子滤波算法存在的问题
基本粒子滤波算法[2]存在的主要问题是粒子退化。重采样步骤的加入，在一定程度上改善了粒子退化问题，但由于一般的重采样方法都是对高权值的粒子不断进行大量复制，随着迭代次数的增加，粒子会慢慢损失其多样性，带来许多新的问题。有效克服退化现象的措施包括增加采样点数。采样点数越小退化现象越严重，而采样点数太大时又会影响计算的实时性，故采样点数也不能无限增大。为了寻求更好的抑制权值退化问题的方法，我们可以对粒子滤波算法中引起粒子退化的两个方面――重要性函数的选取和重采样――进行一个深入分析。
2.2.1 重要性函数选取
在基本粒子滤波算法中，重要性函数选取先验分布，这种方法实现起来很容易，但由于它没有考虑具体时刻的量测值，使目标状态变化严重依赖于模型，如果模型不准确或量测噪声突然增大，则这种参考分布不能有效地表示真实分布，使得重要性采样权值的差别很大。重要性采样权值的差别大小反映了抽样有效性的大小：差别越大，有效性越差。最理想的情况是重要性函数就是状态后验概率分布本身，这时重要性权值的均值为1，方差为0，粒子滤波器可以达到很好的性能。但这在一般情况下是无法实现的。
2.2.2 重采样
选取适当的重要性函数可以在一定程度上提高粒子的有效性，改善粒
子退化问题，但在实际执行过程中，重要性权值的方差会随时间变化而不断增长，退化问题不可完全避免。基本粒子滤波算法在序贯重要性采样步骤后加入重采样步骤以减小粒子退化现象。
重采样方法可以在一定程度上减弱退化现象对系统的影响，但是随着时间的推移，权值大的粒子将被多次选中，丧失其多样性，使现存的粒子不再能代表状态的概率密度分布。本文将在下章中给出一种新的基于遗传算法和模拟退火算法的重采样方法，该方法应用遗传算法中的复制、重组、变异等操作和Metropolis准则[3]接受新的个体，使得在保证权值高的粒子被大量复制的同时，也使一些权值小的粒子有破例入选的可能，很好的提高了粒子的多样性。
但随着时间的推移，由于不断复制大量相同的粒子，会慢慢损失粒子的多样性，从而使得目标概率的离散逼近变得不精确，影响粒子滤波器的估计性能。在动态噪声小时这一问题尤为严重，而且会带来许多新的问题。为了提高粒子的多样性，应当选择更有效的重采样方法。
3 小结
粒子滤波作为一种基于贝叶斯框架的滤波算法，在处理非高斯非线性时变系统的参数估计问题方面有独到的优势：应用贝叶斯定理对动态系统状态的统计特性进行估计，估计误差受系统的非线性程度影响较小；应用蒙特卡罗方法使得算法的收敛性和收敛速度与状态空间的维数无关；整个算法的适应性很强，可应用于各种不同领域。
本文在描述分析粒子滤波理论知识和算法流程基础上，对该算法存在的问题进行了深入的探讨。
参考文献：
[1]孙毅，基于贝叶斯原理和蒙特卡罗方法的高分辨方位估计新方法研究，西北工业大学信号与信息处理系，2003.3.
[2]周明、孙树栋，遗传算法原理及其应用，北京：国防工业出版社，1999：12-44.
[3]陶海红、廖桂生、王伶，基于混合遗传算法的m-序列波形优化设计，电波科学学报，2004，19（3）：253-257.
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