泊松分布与泊松流
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摘要: 主要从泊松分布以及泊松流的性质出发,给出它们在应用方面的一些探讨。
关键词: 泊松分布;泊松流;等待时间
中图分类号:O21文献标识码:A文章编号:1671-7597(2010)0220011-01
1 引入
泊松分布是由法国数学家泊松于1837年引入的。泊松分布也是概率论中最重要的几个分布之一。一种分布之所以重要,通常是由于两种原因:或者它直接产生于实际问题中,或者它作为某些重要的分布的极限而出现,因而在理论上有重要的意义。泊松分布也是如此:首先,已经发现许多随机现象服从泊松分布。特别是在社会生活、物理科学等领域,诸如公共汽车站来到的乘客数,放射性分裂落到某区域的质点数等等。其次,对泊松分布的深入研究(特别是通过随机过程的研究)已发现它具有许多特殊的性质和作用。
2 定义和性质
2.1 泊松分布
设X为离散型随机变量,且X的取值为所有非负整数。如果X的概率函数为:
则称X服从均值为的泊松分布。
泊松分布的均值和方差都为。
定理1:如果 是相互独立的随机变量,且 服从均值为 的泊松分布,则服从均值为
的泊松分布。
2.2 泊松流
源源不断地出现的许多随机的质点构成一个随机质点流,简称流。例如,到某商店去的顾客形成一个顾客流等。
以 表示在时间区间 内总共出现的质点个数,我们讨论 的分布。
流称为泊松流,如果流满足下列条件:
1)独立增量性(无后效性)。在任意个不相交的区间
中,各自出现的质点的个数是独立的,即对任意个非负整数 ,诸事件是独立的;
2)平稳性。在长为的区间中,出现个质点的概率
与无关,且不恒等于1,并且在有限区间
3)普通性。在 中出现一个以上质点的概率
泊松流也称为泊松过程。
定理2:对于泊松流, 有参数为 的泊松分布, 是正常数;即:
通常我们用泊松分布来描述事件出现的次数,由于λ是单位时间内事件发生的平均数,λ越大,单位时间内平均发生的事件越多,所以也称λ为泊松过程的强度。用强度为λ的泊松过程来描述单位时间内期望出现事件数为λ的随机事件的出现次数,若在互不相交的时间区域内事件的发生是相互独立的,且两个或多个事件能在同一时间发生,则时间间隔为t时,事件出现的次数服从均值为λt的泊松分布。
3 典型例题
3.1 顾客到达数
一个店主用独立且服从均值为4.5的泊松随机变量来描述在互不相交的时间间隔里到的顾客数,认为平均每小时到达商店购物的顾客数为4.5。求在两个小时的时间间隔里至少有12名顾客到达商店购物的概率为多少?
解:以 表示第一小时内到达商店购物的顾客数, 表示第二小时内到达商店购物的顾客数,则可以认为 和 是相互独立的泊松随机变量,且均值都为4.5。由定理1,两个小时内到达购物的顾客总数
服从均值为9的泊松分布。通过查泊松概率表可得到所求概率是
。
3.2 等待时间悖论
公共汽车依泊松过程到达车站,依次相继到达的汽车间隔的时间期望是λ。假设某人在任意时刻t到达车站,求他等待汽车的时间 的期望
是多少?
解一:由泊松过程的无后效性,他等待的时间分布不依赖于他的到达时刻。在这种情形下,。
解二:他的到达时刻是“随机地出现”在区间内,在两辆相继到达的汽车之间,由于对称性,他的期望等待时间是两辆相继到达的汽车时间间
说明:这两个解法都是正确的,并且都被用于实际中。矛盾在于:
我们讨论时间间隔( 表示第辆车到达的时刻)。则 有相同的分布,其期望值为。选取“任意”特殊的就得到一个随机变量,从直观上会认为它的期望值为,只要这种选择不需要用到样本序列的知识。但这是不正确的。在本例中,我们选择一个变量使得,这里是固定的。这个选择是不考虑实际过程而做出的,但是这样选出的有两倍的期望值。由这一事实,本例的解二假设有期望等待时间,于是矛盾消失。这个悖论的解决引起了极大地震动,但是我们的思考方式经过适当的调整,它在直观上就变得明显了。粗略地说,长区间比短区间有较多的覆盖点的机会。
4 小结
泊松过程除用来描述一定时间间隔内到达者的数量,计算等待的时间间隔外,还可以用来描述一定空间内发生的事件数,某一放射源放射的原子颗粒数等等。泊松过程的模型有如此广泛的应用,主要原因有两个:第一,模型计算起来比较简单;第二,若关于事件的发生可以做出三条合理假设,那么对该模型就有一个很好数学证明。
参考文献:
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