巧设数学问题激发学生思维活力研究
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作者:许颐
摘 要：在数学教学过程中，教师要注意对学生进行启发诱导，要通过巧设数学问题，逐步引导学生的思维发展。文章以八年级数学拓展课“中点四边形”教学为例，探讨如何通过设计开放性问题、支架性问题、启发性问题、拓展性问题，来激发学生思维的活力，促进学生数学思维的发展。
关键词：数学问题;数学思维;开放性问题;支架性问题;启发性问题;拓展性问题
中图分类号：G421;G623.5 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2020）11-0056-02
课堂不是同质性的空间，而是交织着多种思维表象的异质空间，教师在教学过程中要注意启发诱导。当学生同客体、同他人、同自己进行思维对话时，就构成了三位一体的推理思维过程。数学教学的本质是学生在教师的引导下能动地建构数学认知结构，并使自己的思维和能力得到全面发展。教师在数学课堂教学中应制定适切的目标，提出有效的问题，激活学生的思维，而目标的适切性决定着问题的有效性。如果将八年级数学拓展课“中点四边形”的教学目标定位于简单的知识传授，那么对学生数学思维品质的提升将毫无意义。教学这节课时，教师可以借助研究“中点四边形”（见图1）的过程，让学生体会如何研究新图形，如何发现新性质，如何研究和验证新规律。当教学目标指向学生的数学学习能力时，问题的设计角度也会随之发生变化。教师应巧妙设计问题，使学生产生认知冲突，以激发学生的求知欲和思维的积极性。同时，教师需通过适当的手段，让学生的这种心理倾向指向明确并维持在一定的强度，这样才能激发学生的思维活力。
一、设计开放性问题
研究中点四边形的难点是如何发现其形状与原四邊形的对角线有关系。传统的设问是：求证任意四边形的中点四边形一定是平行四边形。这个提问直接把结论告诉了学生，限制了学生的想象，失去了激发学生探究的魅力。为此，教师设计了一个开放性的问题：任意四边形的中点四边形一定是什么四边形？把发现的“权利”交给学生。但对这个设计出现了争论，有的教师提出可以更开放一些，考虑到学生已经学过四边形的分类，所以可直接问“中点四边形可以是什么形状？”然而实践证明，这样的设计效果并不好。学生虽然学习了四边形分类的知识，但是缺少分类的实践经验。可见，知识和经验都是探究新问题的基础，离开一定的知识和经验强调发展能力，构建过分简约的结构，必然会使学生一头雾水。适当的开放性问题能够激发学生的认知冲突，学生们迫切想知道结论，于是尝试用几何画板、直观观察等方式进行研究和讨论，得出了“是平行四边形”的猜想。
二、设计支架性问题
数学是一个理性的学科，数学教学要培养学生的理性精神。得出猜想，并不是学习的终点，而是学习的又一个起点。当学生得出猜想后，应进行论证，要么给出证明，要么给出反证。因此，教师应适时追问：“为什么一定是平行四边形？”这个问题能引导学生进行推理和验证。在此问题的探究中，关键一步是将“四边的中点”与“三角形的中位线”结合起来，将四边形的问题转化成三角形的问题，这是最精彩的地方（见图2）。如果学生无法完成这个转换，教师就要给出思维的台阶。但是，不能直接给出“利用三角形中位线性质”“画出对角线”等提示，而要站在研究的层面给予铺垫。因此，教师可以尝试这样提问：“我们学习过与中点相关的线段的性质，是不是可以从这里寻找思路呢？”在教师的提示下，学生会自觉回忆三角形、梯形等图形的中位线的性质，从已有认知中联想到三角形中位线的位置关系及数量关系，从而构建四边形与三角形之间的桥梁。在利用三角形中位线进行论证的过程中，学生自然能够发现中点四边形的形状与原四边形的对角线可能有一定的关系。
三、设计启发性问题
有了前面的铺垫，各学习小组顺利给出了一个论证思路，得出“任意四边形的中点四边形一定是平行四边形”的结论，只是这个结论的妙处还没有完全被揭示出来，需要在应用过程中让学生体会。这时，教师可以提出本节课第二个关键性问题：“中点四边形的形状与原四边形的对角线有怎样的关系？”这便形成了一个探究中点四边形形状的问题串。这时，教学设计又出现分歧。有的老师认为给出对角线相等、互相垂直、对角线相等且互相垂直的四边形，让学生自主探究并进行说理;有的老师认为可以直接探究中点四边形的形状与对角线的关系，无须进行铺垫。其实，这两种设计各有特点。前者问域较窄，便于学生探究得出结论，但学生无法理解中点四边形的本质，若换一个图形或换一种问法就会出现问题。后者问域较宽，学生无从下手。最后的教学设计是根据学生的反应预备两套方案：一种是启发学生对中点四边形的特殊性进行研究，提出问题：“如果中点四边形是矩形、菱形，原四边形的对角线有什么特殊关系？”此设计属于逆向思维，有一定难度;另一种是启发学生从对角线的位置关系和数量关系入手，研究对角线相等、互相垂直的四边形的中点四边形。从实际效果来看，第二种更符合学生的认知结构和学习经验，学生能够从中发现规律，并在说理过程中总结出中点四边形与原四边形对角线的关系。这时，教师可以提出一个逆向问题：“如果中点四边形是正方形，那么原四边形有什么特点？”这些问题能够让学生体会到：研究中点四边形的本质其实是研究三角形中位线定理，研究策略是将四边形问题转化为三角形问题，最后类比四边形的关系结构图，小结出中点四边形的结构图。这样的教学设计，能够始终保持学生的高认知水平，促使学生形成良好的认知结构和数学思维方法。
四、设计拓展性问题
创新精神就是要从已有信息中得到启发，生发新的想象，构想出新的事物。而数学教学应重视培养学生“学习一个结论后又主动构想新的结论”的创新精神。在数学知识的花园中，一个好的结论犹如一朵美丽的蘑菇，若发现一朵，在附近往往还有很多。为此，教师可以设计拓展性问题，引导学生进行拓展性探究。问题1：如果把任意四边形四边中点改成三等分点，是否存在一个由三等分点构成的四边形？它有什么性质？问题2：研究任意五边形五边中点构成的图形（见图3），看看它有什么性质？甚至可以拓展到研究六边形、七边形的中点构成的图形问题。 数学的中心任务是塑造学生良好的数学认知结构，使学生具有不断吸收新数学知识的能力和知识的自我生成能力。数学课堂应该是师生运用数学语言进行思维对话，共同建构认知结构的过程。教师应放弃一讲到底的做法，设置梯度合适的问题，引导学生边听边想边尝试，促使学生发现问题、提出问題、分析问题、解决问题;用“引而不发”“开而弗达”的方法诱导学生自己探索结论;不断增加创造性因素，达到“闻一知十”“举一反三”的目的，从而提高数学课堂的有效性。
参考文献：
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Abstract： In the process of mathematics teaching， teachers should pay attention to the inspiration and guidance of students， and gradually guide the development of students' thinking by skillfully setting mathematical problems. Taking the teaching of "midpoint quadrilateral" as an example， this paper discusses how to stimulate the vitality of students' thinking and promote the development of students' mathematical thinking by designing open questions， scaffolding questions， inspiring questions and expanding questions.
Key words： mathematical problem; mathematical thinking; open problem; scaffolding problem; heuristic problem; expansion problem
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