数据分析下的中考数学函数复习课的有效教学策略

来源:用户上传      作者:陈莹

　　摘 要：随着“一起中学”App（原“极算子”App）在学校的广泛使用，通过“一起中学”搜集、整理学生在学习中经常出现的典型错题进行分析，帮助教师了解学生对知识的掌握情况，找出学生易错的知识点和典型题型，进行归因分析，找出相应的解决方案，改进教学策略，有效地提高备课和上课的质量。函数学习是初中数学较难的知识点，在课堂教学中进行错例分析，帮助学生了解自己可能出现的错误，寻找根源，从而采取相应的补救措施。促进数学成绩的提高，最终达到提高课堂效率的目的。
　　关键词：一起中学;数据分析;函数;错题资源库
　　在教育信息化时代，利用“一起中学”App搜集、整理出学生在练习中常见的、典型的错题进行分析，利用这些数据帮助教师全面了解学生在学习过程中易错的知识点和典型题型，从而制定出相应的教学策略，使得教师在备课时针对相应的问题能够采取合理的措施防范，以避免某类错误在教学中和学生的练习中屡屡发生，有效提高教学效率。在课后通过学生练习反馈的错题数据，可以在课堂上进行展示，分析错因，提出改善意见，强化和巩固学生对知识点的理解。
　　初中关于函数的学习是学生最怕的内容之一，因为函数问题比较抽象，思考函数相关问题的时候要较多地运用数形结合思想，使复杂问题简单化、抽象问题具体化。通过分析学生错题数据发现学生的作图和读图能力是较弱的，学生在函数解题中会出现看不懂题目意思，读不懂函数图象，不知道题目问什么，也不知道如何运用函数的相关性质等问题，根据这些情况我们制定了相应的复习策略。
　　一、 通过思维导图系统复习一次函数、二次函数、反比例函数相关知识点
　　1. 一次函数：y=kx+b，（k≠0，k、b为常数）
　　正比例函数：y=kx，（k≠0，k为常数）
　　y=kx+b图象是一条直线
　　k：决定图 象的趋势k>0：y随x增大而增大，图象从左到右上升
　　k<0：y随x增大而减小，图象从左到右下降
　　b：决定y轴的交 点坐标：（0，b）b>0：与y轴的交点在y轴正半轴
　　b=0：与y轴的交点在原点（正比例函数）
　　b<0：与y轴的交点在y轴负半轴
　　平移问题 （m>0）：向上平移m个单位：y=kx+b+m
　　向下平移m个单位：y=kx+b-m上加 下减
　　2. 反比例函数：y=kx或y=kx-1，（k≠0，k为常数）
　　反比例函数与正比例函数性质对比：
　　正比例函数：y=kx反比例函数：y=kx或y=kx-1
　　图象过原点的直线双曲线
　　象限 （相同点）
　　k>0k<0k>0k<0
　　过一、三象限过二、四象限过一、三象限过二、四象限
　　趋势
　　k>0k<0k>0k<0
　　y随x的增大而增大 图象从左到右上升y随x的增大而减小 图象从左到右下降每个象限内y随x的增大而减小每个象限内y随x的增大而增大
　　函数变形：k=xy，通过反比例函数上的点的横坐标与纵坐标的乘积可求出k值。
　　3. 二次函数
　　（1）一般式：y=ax2+bx+c，（a≠0，a、b、c为常数）
　　y=ax2+bx+c開口方向：a>0：开口向上
　　a<0：开口向下
　　对称轴：x=-b2a
　　决定b的 取值范围对称轴在y轴左边，b的取值范围与a相同
　　对称轴在y轴右边，b的取值范围与a相反左同 右异
　　顶点坐标：-b2a，4ac-b24a
　　与y轴的交点 坐标：（0，c）c>0：图象与y轴的交点在y轴正半轴
　　c=0：图象与y轴的交点在原点
　　c<0：图象与y轴的交点在y轴负半轴
　　与x轴的交点 个数：b2-4ac>0：图象与x轴有两个交点
　　=0：图象与x轴有一个交点
　　<0：图象与x轴没有交点
　　（2）顶点式：y=a（x-h）2+k，（a≠0，a、h、k为常数）
　　y=a（x-h）2+k开口方向：a>0：开口向上
　　a<0：开口向下
　　对称轴：x=h
　　顶点坐标：（h，k）
　　平移问题 （m，n>0）：向左平移m个单位：y=a（x-h+m）2+k
　　向右平移m个单位：y=a（x-h-m）2+k左加 右减
　　向上平移n个单位：y=a（x-h）2+k+n
　　向下平移n个单位：y=a（x-h）2+k-n上加 下减
　　（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2），（a≠0，a、x1、x2为常数）
　　与x轴交点坐标：（x1，0），（x2，0）
　　交点式多用于已知两个x轴交点坐标求二次函数解析式。
　　二、 应用错题资源库的数据制定教学策略
　　分析错题资源库的错题数据可以发现函数题目需要通过观察图象进行解答的，学生的错误率就会偏高，说明很多学生在学习函数时函数性质和函数图象不能互相结合，学生不明白函数性质如何反映在函数图象中，不能通过函数图象看出图象所表述的性质或是题目要回答的要点，导致解题无从下手。根据这个情况，制定了以下教学策略：
　　（一）学会画图
　　画图是学好函数要具备的基本能力之一。通过画图学生会更了解函数性质在函数图象上的反映。画好函数图象的关键是取点，学生已学过函数图象的性质，所以画图不能像初学者一样盲目取点，而是要取一些关键点，这样画出的图象能直观地反映出该函数的某些性质。函数取点的原则：首先取能反映函数性质的点，然后尽量取横坐标和纵坐标是整数的点。 　　一次函数：因为一次函数的图象是一条直线，而两点确定一条直线，所以画一次函数的图象只需要取两个点就可以了，这两个点不要随意取整数点，要取函数与x轴的交点和与y轴的交点，这样取点的好处是：（1）学生在取点的时候能明白如何求一次函数与两个坐标轴的交点坐标。（2）学生在画图时能感悟到函数与x轴的交点和与y轴的交点在函数图象上的反映。有助于学生将函数性质与函数图象相结合。
　　二次函数：二次函数的图象是抛物线，性质比较多，在画图象时，一般取以下几个点：（1）顶点坐标。（2）与y轴的交点坐标。（3）与x轴的交点坐标，如果与x轴没有交点或是求出来的交点坐标是带根号的，那么就取两个关于对称轴对称的整数点。这样学生在每次画图中都能明白如何求顶点坐标和与坐标轴的交点坐标以及这些性质如何反映在函数图象上，帮助学生学会从图象中读懂函数性质。
　　反比例函数：反比例函数的图象是双曲线，与坐标轴无交点，所以取点原则是尽量取整数点，每个象限取3个或更多，取得点越多，画的图象越精确。在取点时引导学生体会每个点的x值与y值的乘积等于k这个性质。
　　（二）学会读图
　　读图一般读三个要素：（1）读图上的点。（2）读趋势。（3）读函数的相关性质。
　　一次函数：一次函数y=kx+b的图象如图1所示，从图中能知道：
　　（1）函数与y轴的交点坐标是（0，3），b=3。
　　（2）函数与x轴的交点坐标是（2，0）。
　　（3）趋势：y随x的增大而减小，k<0。
　　（4）通过点的坐标可以求出该函数的解析式是：y=-32x+3。
　　（5）通过点观察x与y的取值范围：
　　①通过（2，0）这个点观察：当x>2时y<0;当x<2时y>0。
　　②通过（0，3）这个点观察：当x<0时y>3;当x>0时y<3。
　　二次函数：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2所示，从图中能知道：
　　（1）函数的开口向下，a<0。
　　（2）函数与y轴的交点坐标是（0，3），c=3。
　　（3）函数与x轴的交点坐标是（3，0），（-1，0）。
　　与x轴有两个交点，b2-4ac>0
　　（4）二次函数顶点坐标（1，4）。由顶点坐标可知：当x=1时，二次函数有最大值y=4。
　　（5）二次函数对称轴：x=-b2a=1，2a+b=0。
　　（6）趋势：x≤1时，y随x的增大而增大;x≥1时，y随x的增大而减小。
　　（7）通过x轴的交点观察x与y的取值范围：当x<-1或x>3时，y<0;当-1<x<3时，y>0。
　　（8）通过点的坐标可以求出该函数解析式是：y=-（x-1）2+4或y=-x2+2x+3。
　　还可以得到a、b、c的关系：a-b+c=0，a+b+c=4，4a-2b+c<0，4a+2b+c>0等。
　　函数与函数之间的关系：如图3所示，从图中可以知道：
　　（1）一次函数y=x+1与二次函数y=-（x-1）2+4的交点坐标是（-1，0）和（2，3）。
　　（2）通过两个函数的交点观察函数之间的关系：
　　当-1<x<2时，一次函数的值<二次函数的值;
　　当x<-1或x>2时，一次函数的值>二次函数的值。
　　（三）运用数形结合思想解题
　　我国著名数学家华罗庚曾说过：数形结合百般好，隔裂分家万事休。“数”与“形”反映了事物两个方面的属性，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”将抽象思维与形象思维结合，使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。
　　【例1】 一次函数y=2x-4的图象如图4所示，填空：
　　（1）当x    時，y<-4。
　　（2）当x>2时，y    。
　　这道题可以让学生体会“数”与“形”两种方法在解题上的运用。
　　（1）方法①，“数”：
　　∵y=2x-4，y<-4
　　∴2x-4<-4
　　解得x<0
　　∴当x<0时，y<-4。
　　方法②，“形”：
　　观察图象得：当y=-4时，x=0，观察图象趋势得：y随x的增大而增大。
　　∴当x<0时，y<-4。
　　（2）方法①，“数”：
　　∵y=2x-4
　　∴x=y+42
　　又∵x>2
　　∴y+42>2
　　解得y>0
　　方法②，“形”：
　　观察图象得：当x=2时，y=0，观察图象趋势得：y随x的增大而增大。
　　∴当x>2时，y>0。
　　这道题学生做第（1）题时，由于比较习惯“数”的思考方式，所以会感觉“数”的方法更好理解，计算也简单，但学生做第（2）题时，“数”的方法做起来就较为复杂了，这时就能体会到“形”的方法为解题带来的便利。这时就可以引导学生在解函数问题时要“以形助数”，提高解题效率。
　　【例2】 一次函数y=ax+b和y=cx+d的图象如图5所示，
　　根据函数图象求x，y的二元一次方程组y=ax+b y=cx+d的解是：    。
　　解析：这道题用一般的解方程的方法是解不出的，要将函数与方程思想相结合，找到他们的关系，通过观察函数图象得出结论。
　　因为点（2，1）是一次函数y=ax+b和y=cx+d的交点，
　　所以x=2，y=1代入函数y=ax+b成立，代入y=cx+d也成立，
　　这与x=2 y=1是方程组y=ax+b y=cx+d的解的意义是一样的。
　　所以x，y的二元一次方程组y=ax+b y=cx+d的解是x=2 y=1。
　　在解决函数问题甚至其他问题时，经常用到数形结合的思想。因此我们在教学过程和解题训练时，要培养学生“由数思形”“以形想数”“数形转化”的能力。
　　一次函数、二次函数和反比例函数在内容与学习方法上既有联系又有差异。教师在教学过程中应引导学生通过类比的方式接受新知识。在学习函数性质时，引导学生主动探索，自主学习，提高学生的学习能力。在解题训练中，培养学生运用数形结合的思想进行解题。通过引入“一起中学”App错题资源库的高频错题示范，让学生及时发现错误，改正错误，培养学生收集错题集的习惯，提高学习效率和质量。
　　参考文献：
　　[1]中华人民共和国教育部制定.数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2011.
　　作者简介：
　　陈莹，广东省广州市，广州市增城区水电二局学校。
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