关于正项级数敛散性判定方法的总结比较

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　　摘 要：本文将对正项级数的敛散性问题进行研究，引入常用的比较判别法和比值判别法，而后再给出相应的级数作为比较尺度后，得到了相应的达朗贝尔判别法和柯西根式判别法，并给出了相应的极限形式和上下极限形式的版本。在采用更加精细的级数作为比较尺度后，引出了拉贝尔判别法，并对上述的几种方法进行了总结和分析。
　　关键词：正项级数 敛散性 达朗贝尔判别法 柯西根式判别法 拉贝尔判别法
　　引言
　　随着正负无穷的引入，人们对于数字的理解不再拘泥于传统意义上的有限数字。此时，关于一列已知序列求和的敛散性问题便应运而生。如何判断一列序列求和是有限的还是发散的，成为数学分析中的一个重要问题，受到了很多的关注和研究，产生了诸如比较判别法、达朗贝尔判别法和柯西根式判别法等等。本文将对目前常用的一些判定方法进行归纳，并对它们的适用性和局限性进行分析。
　　一、比较判别法、比值判别法及达朗贝尔判别法
　　我们在本节中将介绍三种常用的判别方法——比较判别法、比值判别法和达朗贝尔判别法，在引入序列的上下极限以后，给出极限形式和上下极限形式下的达朗贝尔判别法，从而使得达朗贝尔判别法得到很好的总结和完善。而后改变比较级数的尺度，对达朗贝尔判别法进行推广，引入拉贝尔判别法，使得比较变得更加的精细和准确[1]。
　　1.比较判别法和比值判别法
　　当我们遇到一个未知的序列以后，我们可以将它与已知的收敛或者发散的序列进行比较，进而来判断它的敛散性，从而诞生了比较判别法和比值判别法。为了下文的行文的简单性，我们用符号来表示[2]。
　　定理1（比较判别法）假设级数和均为正项级数，那么我们有：
　　（1）如果收敛且存在和，使得，，那么也收敛;
　　（2）如果发散且存在和，使得，，那么也发散。
　　为了方便使用，我们这里引入极限形式的比值判别法.
　　推论1设级数和均为正项级数
　　令则有：
　　（1）如果收斂，且，那么也收敛;
　　（2）如果发散，且，那么也发散。
　　同样的，对于严格的正项级数我们可以得到如下的比值判别法.
　　定理2（比值判别法）假设级数和都是严格的正项级数，那么我们有：
　　（1）如果收敛，且存在，使得，，
　　那么也收敛;（2）如果发散，且存在，
　　使得 ，，那么也发散。
　　2.达朗贝尔判别法
　　在得到了比值判别法以后，如何选取正项级数作为比较的标准，便成了一个重要的问题。如果选用的级数过于宽松，那么可能无法很好地判定级数的敛散性，而如果选用的级数过于精细，那么无疑会增加计算的难度和复杂性.在这里，我们首先采用等比级数作为比较尺度引入达朗贝尔判别法，并给出相应的极限形式和上下极限形式的达朗贝尔判别法，而后对所用的判定级数进行精细，采用级数作为比较尺度得出拉贝尔判别法。
　　定理3（达朗贝尔判别法） 设是严格的正项级数，那么我
　　们有：
　　（1）如果存在和，使得，，那么收敛;
　　（2）如果存在，使得 ，，那么发散。
　　下面我们给出相应的极限形式和上下极限形式的达朗贝尔判
　　别法[3]。
　　推论2（极限形式） 假设是严格的正项级数，
　　且存在极限
　　那么我们有：
　　（1）如果，那么收敛;
　　（2）如果，那么发散。
　　推论3（上下极限形式） 假设是严格的正项级数，那么如果，那么收敛;（2）如果，那么发散。
　　我们可以发现，当极限或者上下极限的值为1的时候，达朗贝尔判别法就会失去判别能力。这个时候，我们就应该换用一个更加精细的级数来作为比较尺度。于是，在采用级数作为比较尺度以后，我们可以得到更加精细的判定方法，也就是拉贝尔判别法。
　　定理4（拉贝尔判别法） 假设是严格的正项级数，那么我
　　们有：
　　（1）如果存在和
　　使得，，那么收敛;
　　（2）如果存在
　　使得，，那么发散。
　　二、柯西根式判别法
　　我们在本节中将引入另外一种常用的判别方法——柯西判别方法，这个方法在判定正项级数的敛散性方面有着重要的作用。
　　定理5（柯西根式判别方法） 假设是正项级数，那么我们有：
　　（1）如果存在和，使得，，那么收敛;
　　（2）如果对于无穷多个，有，那么发散。
　　在实际的应用中，我们会发现极限形式的柯西根式判别法会更实用一些，于是我们引入极限形式的柯西根式判别法。
　　推论4（极限形式）
　　假设是正项级数，且存在极限，那么我们有：（1）如果，那么收敛;（2）如果，那么级数
　　发散。
　　在引入上极限以后，我们可以得到相应的上极限形式的柯西根式判别法。
　　推论5（上极限形式） 假设是正项级数，并有，那么我们有
　　（1）如果，那么收敛;（2）如果，那么发散。
　　三、总结与展望
　　本文从数学分析中的一个重要问题——正项级数的敛散性问题出发，首先引入了常用的两种判别方法——比较判别法和比值判别法，将想要判定的级数与已知敛散性的级数之间建立起关系。而后，在选取了相应的级数作为判定尺度后，引出了相应的达朗贝尔判别法和柯西根式判别法，并分别给出了相应的极限形式和上下极限形式的版本。为了解决达朗贝尔判别方法中出现的当无法进行判定的问题，将判定的尺度作了进一步的细化，引出了拉贝尔判别方法，使得判定级数敛散性问题得到了更好的解决。但对于某些特殊的级数，仍然会出现现有的几种方法无法解决的问题，需要采用更加精细的尺度，就具体问题进行分析。在以后的研究中，也将就用来作为判定尺度的级数进行更深层次的挖掘。
　　参考文献
　　[1]张筑生.数学分析新讲.第二册[M].1990.
　　[2]张筑生.数学分析新讲.第三册[M].1990.
　　[3]朱江红，高红亚.几种正项级数敛散性判别法的强弱性比较[J].沧州师范学院学报，2004，20（2）：37-39.
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