浅论数学分析中极限问题的存在性和若干求解方法

来源:用户上传      作者:

　　 摘要：文章首先介绍六大实数集完备性定理以作为求取极限的基础，然后介绍一元函数求极限的方法，包括极限定义法、极限的四则运算、函数迫敛性、两个重要极限、单调有界原理、洛必达法则、泰勒公式，重点在于对它们互相进行对比，找出它们各自的优点，指出它们各自所适用的情况，力求在遇到极限问题时能灵活运用各种方法，找到最简易的解法。
　　 关键词：实数集完备性定理;极限;一元函数
　　 一、引言
　　 微积分的思想在公元前7世纪就已经产生，但并不是十分明显。在公元前3世纪，伟大的阿基米德就利用穷竭法求出了抛物线、螺线、圆的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积、体积公式。
　　 在中国，三国时期的刘徽发明了世界闻名的割圆术。南朝时的祖氏父子更是将圆周率计算到了小数点后七位。此外祖暅之提出的祖暅原理也比西方早了一个多世纪。而这些成就大多也包含了微积分的思想在其中。
　　 直到15世纪初，人们的科学技术开始要求更加强劲的数学工具。具体来说有不同领域的四个问题促使了微积分最终的发明。这四个问题是：运动中速度、加速度、距离之间的虎丘问题，尤其是非匀速运动，使瞬时变化率的研究成为必要;曲线求切线问题，例如要确定透镜曲面上任意一点的法线等;从求炮弹的最大射程，到求行星轨道的近日点与远日点等问题提出的求函数的极大值或极小值问题;当然还有千百年来人们一直在研究如何计算长度、面积、体积与重心等问题。
　　 其中，第一、第二、第三促进微分的发展，第四问题促进积分的发展。
　　 微分与积分起初是互相独立发展的，开普勒、伽利略、费马、笛卡尔、卡瓦列里、巴罗等人做出了不可忽略的贡献，直到牛顿和莱布尼兹对微分和积分进行了统一。
　　 牛顿从1664年开始研究微积分。1665年5月，牛顿发明了“流数术（微分法）”，1666年5月，发明“反流数术（积分法）”，并于1666年10月将其整理成文，命名为《流数简论》（未发表）。这是历史上第一本系统描述微积分的学术书籍。
　　 在1673年，莱布尼兹提出特征三角形（ds，dx，dy），并认识到特征三角形在微分中的重要意义，又因为牛顿使用的运算符号过于复杂，所以当代的数学分析采用的是莱布尼兹的符号体系。
　　 数学是十分严谨的学科，追求精确的证明。但是整个微积分体系都是建立在无穷的层面的，是十分模糊的概念。于是还有一批数学家便投身与微积分的严格化的论述。这项工作最终是由柯西完成的，1821年，柯西发表《工科大学分析教程》;1823年，柯西发表《无穷小计算教程概论》;1929年，柯西发表《微积分学讲义》，这三本著作建立了一个沿用至今的微积分模型，并严格定义了如极限、实数、无穷小等概念。可以说柯西为微积分学严格化做出了巨大贡献。
　　 至此，微分、积分已经被牛顿统一在一起，运算符号体系已经被莱布尼兹所建立，严格化的证明也被柯西完成，微积分几乎是一个完整的数学分支了。
　　 二、实数系完备性定理
　　 在求取极限之前，先要确定极限的存在。闭区间套定理、有限覆盖定理、聚点原理、柯西收敛准则、单调收敛原理、确界原理这六个定理之间的组合可以证明极限的存在。
　　 1. 确界原理：非空有上（下）界实数集必有上（下）确界。
　　 说明，我们假设实数集存在一个不连续点（设为a）。那么集合（-∞，a）不存在上确界，但是根据确界原理，该集合必有上确界，矛盾，所以实数集连续。将这个定理称为“实数系连续性定理”。
　　 2. 单调收敛原理：单调有界序列必收敛。
　　 3. 闭区间套定理：设{[an，bn]}是一列闭区间，并满足：
　　
　　 （4）有限覆盖定理：设A是R中的一个子集，{Eλ}λ∈Λ是R中的一族子集组成的集合，其中Λ是一个指标集。若A？哿∪λ∈ΛEλ，则称{Eλ}λ∈Λ是A的一个覆盖;若{Eλ}λ∈Λ是A的一个覆盖，而且对每一个λ∈Λ，Eλ均是一个开区间，则称{Eλ}λ∈Λ是A的一个开覆盖;若{Eλ}λ∈Λ是A的一个覆盖，而且Λ的元素只有有限多个，则称{Eλ}λ∈Λ是A的一个有限覆盖。
　　 （5）聚点原理：设E是R中的一个子集。若x0∈R（x0不一定属于E）满足：对？坌δ>0，有U0（x0，δ）∩E≠？覫，则称x0是E的一个聚点。R中的任意一个有界无穷子集至少有一个聚点。
　　 （6）柯西收敛准则：设{xn}是一个序列，若？坌ε>0，？埚N，当n，m>N时，有|xn-xm|<ε，则称{xn}是一个柯西序列。{xn}收敛的充分必要条件是它是一个柯西序列。
　　 说明，这一原理表明一个柯西数列必存在实数极限，也就是实数集的完备性。
　　 所以这六个定理是相互等价的，它们都说明了实数集的连续性和完备性。可以用这六个定理的一个或多个来判断极限的存在，这为求取极限奠定了基础。
　　 三、一元函数求极限
　　 （一）极限定义求解
　　
　　 补充三， 泰勒公式的应用是非常广泛的，例如牛顿近似求根法（即牛顿迭代法）。牛顿迭代法就是使用f（x）的泰勒级数的前面几项来寻找方程f（x）=0的根，其最大的优点是在方程f（x）=0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的复根、重根，这种方法广泛用于计算机编程当中。
　　 四、总结
　　 本文首先介绍了六个关于实数系完备性的定理。这六个定理保证了实数系的完备性，我们常常使用其中一个或多个证明极限的存在。
　　 然后介绍了七种求极限的方法，每一種方法都有一些适用的地方以及需要注意的地方，下面一一总结。
　　 对于第一种定义法，其实并不常用，只有那些相对简单的极限适合用这种方法。在采用定义法之前，必须先判断该极限的值，再对这个值极限证明。
　　 对于第二种方法四则运算求解，适合于一些通过四则运算将简单函数连接起来形成的函数。在使用除法法则前一定要判断被除极限是否为零（如果为零可以尝试采用洛必达法则），而有限个加减乘的运算就可以放心使用了。
　　 对于第三种方法迫敛性求解，寻找两个满足条件（极限相同、大小始终夹原来的函数）的函数是比较困难，比较麻烦的，所以这种方法也不常用。
　　 对于第四种方法两个重要极限，这个方法非常重要，几乎五成的题目都可以转化成两个重要极限的形式，当然这个方法也需要一定的数学能力将其进行转化。
　　 对于第五种方法单调有界定理，这里要先证明该函数满足单调增（或减），以及函数有界，然后进行计算。
　　 对于第六种方法洛必达法则，这是非常灵活的方法，常常在四则运算尝试后发现了一些比较特殊的形式，就会采用洛必达法则。
　　 对于第七种方法泰勒公式，要采用这种方法的极限往往是导函数是自己或者导函数比原函数更复杂的函数，也就是在洛必达法则完全无能为力时，我们会使用泰勒公式简化它，但是要注意该函数每一部分所取的导数阶数都是相同的，然后化简后再求解。
　　 参考文献：
　　 [1]临沂大学信息与计算科学系.求解极限的若干方法[D].临沂大学，2014.
　　 [2]伍胜健.数学分析（第一册）[M].北京大学出版社，2009.
　　 [3]钱吉林.数学分析解题精粹[M].（第二版）.崇文书局，2011.
　　 [4]郑庆玉，郭政.数学分析方法[M].电子工业出版社，2010.
转载注明来源:https://www.xzbu.com/2/view-14922640.htm