高等院校招生计划优化模型

来源:用户上传      作者: 罗朝晖　姚源果

　　1、问题提出
　　
　　随着社会的发展，不少院校升格为层次更高、规模更大的新兴院校。新升格的院校在与老牌院校的竞争中处于劣势，要提高竞争力，除了加大宣传力度，提高各方面的投入之外，招生计划对学校的生存与发展亦起着至关重要的作用。所制定的招生计划，要完成上级部门的计划任务，充分发挥学校的软硬件资源，同时获得最大收益。
　　
　　2、符号说明
　　
　　m：学校专业数
　　d(M1)(i=2，2，m)：各专业要完成的国家计划
　　n(M1)(i=1，2，…，m)：各专业计划招生数
　　n：学校最大接纳人数
　　N：计划招生人数
　　H后勤总能力(食宿)
　　E(M1)(i=1，2，…，m)：各专业极限教学能力
　　I：一个学生的学费
　　C：培养一个学生的成本
　　b：超出学校最大接纳人数后培养一名学生所增加的成本
　　s(N)：计划招生人数为N时的平均利润
　　b：超出学校实际能接纳能力的学生人数比例
　　p(Mb)(N)：超出学校最大接纳人数为NB时的概率
　　
　　3、模型假设
　　
　　1、学校每年入学率为常数
　　2、收取一名学生学费及培养一名学生成本不变
　　3、国家的财政拨款及维持学校运行的基本费用为常数
　　4、国家的指导计划、学校的总体后勤能力、各专业的极限教学能力不变
　　5、超出学校最大接纳人数后每位学生所增加的培养成本不低于培养一个学生的收益
　　
　　4、问题分析
　　
　　要确定招生计划，首先确定学校实际接纳能力，而学校的实际接纳能力，与国家的指导计划、学校的总体后勤能力、各专业的极限教学能力有关。以最大收益为目标函数，在上述条件限制下，确定学校的实际接纳能力。
　　注意到并非录取的学生都来报道，所以计划招生人数应比学校实际接纳能力要多，但如果计划招生人数定得偏低，到校人数低于过学校实际接纳能力，会造成资源浪费，收益减少；而计划招生人数过高。到校人数超过学校实际接纳能力，需要通过租房及外聘教师才能满足需求，造成部分学生情绪不满，使得学校声誉降低，因而要综合考虑学校收益与社会声誉以确定招生计划。
　　
　　5、建立模型
　　
　　
　　
　　模型一：学校实际接纳能力模型
　　收益可用学校收入(以财政拨款及学费收入为主)扣除学校基本运行费及培养学生成本的利润来衡量，由于财政拨款与学校基本运行费是基本固定的。故收益可考虑用培养学生的收益(学费收入扣除培养学生的成本)来描述。以最大收益为目标函数，以国家的指导计划、学校的总体后勤能力、各专业的极限教学能力为约束条件，可以建立以下模型：
　　n(M1)都是正整数。根据实际情况，将数据代人上述模型，借助lingo等数学软件，容易计算出学校实际接纳能力
　　模型二：招生计划最优模型
　　由模型一，可知学校实际接纳能力为n，计划招生人数为N，由于一些学生不来报道，故应有N≥n。学生是否来报道是相互独立的，设每位学生是否来报道的概率为p。学校收益可以用平均利润s来衡量，每学年度的利润s为学费收入/扣除培养一个学生的成本c及超出接纳能力后所增加的培养成本6。当有k名学生不来报道时
　　
　　
　　当入学人数超出学校实际接纳能力后，需要靠租房及外聘教师来弥补，一般而言，此时超出一名学生所增加的成本应不低于一名学生的收益，即b≥1－c或b/1－c≥1;另一方面，由于学生学习条件变差，教学质量下降，造成学生有不满情绪，学校的社会声誉因此下降。假设超出学校接纳能力的学生都有不满情绪，从社会声誉和经济利益两方面考虑，有不满情绪的学生比例应限定在一定的比例内，设此比例为卢β(O≤β≤1)。由于超出人数是随机的，可以用超出学生人数超过若干人的概率为度量指标。记超出学生人数为，j(β)=nβ的概率为p(Hβ)(N)因为超出的人数大于j=nβ，等价于不来报道的学生人数不超过N－n－j－1=N－n(1＋β)－1人，所以p(Mβ)(N)=∑(Mk=o)显然N增大时，pa(N)单调增加，p(Mβ(N)越大，造成学生不满的可能性越大，学校的声誉就越低。为了维持一定的声誉，p(Mβ)(N)不能超过某――水平a(a≤1)，由此可得以下模型
　　
　　6、模型求解
　　
　　为了减少(N)加中的参数，取s(N)加除以I――C作为新的目标函数，得到新的模型
　　问题转化为给定n,b/I－C，p，求N使得J(N)最大。上述模型无法解析地求解，考虑设定几组数据计算后进行考察，
　　
　　
　　7、结果分析
　　
　　(1)若b/i－c=1，即超出一个学生所增加的成本与一个学生的收益持平。由表可见，只要有条件租房及外聘教师，则计划招生人数越多收益越高，当然这是以牺牲社会声誉为代价的，得不偿失，此时只需考虑一定水平的声誉下，即在
　　
　　(2)若b/I－c=1.4，即超出一个学生所增加的成本多于一个学生的收益。此时学校的收益都是先增加再减少的，注意到在最大值的附近变化很小，但是超出学生人数为j(β)=N3的概率pβ(N)却增加得很快。综合考虑收益与社会声誉，有以下结论：
　　给定p(M0.01)(N)0.02)(N)<0.3。
　　当H=2000，p=0.05，β=0.02时，计划招生数为n=2140,此时np/N－n=100/2130－2000≈0.769；当n=2000,p=o.2，β=0.02时，计划招生数为N=2480，此时np/N－n=400/2480－2000≈0.769，
　　可见，p越大，即报道率越低的学校。计划招生人数应越多β越小，即越重注声誉的学校，招生计划数相应少一些。当β=0.01时，N≈lOOnp/83+n；当β=0.02时,时≈1000/769+n。
　　例如一所重点名牌大学，入学率很高，统计历年入学率为98％，即p=O.02，由于学校威望高，学校在声誉方面条件相对放宽，取β=0.02，设学校实际接纳能力为n=5000，则计划招生人数N≈1000.5000.0.02/769+5000≈5130(人)。
　　一所普通大学，入学率较低，统计历年入学率为75％，即p=0.25，由于学校威望较低，学校在声誉方面条件要求更高，取p=0.Ol，设学校实接纳能力为n=2000，则计划招生人数N≈100.2000.0.25/83+2000≈2602(人)。
　　可以验证，β越大，若仅考虑满意度，还可以招更多的学生，但从收益来看，却往往达不到理想的收益，此时可考虑从最大收益时来确定招生人数。

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