用一元一次方程解决利润问题的教学研究

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　　摘 要：一元一次方程作为七年数学教学中的重点，其应用题的教学是难点，特别是利润问题的教学。一元一次方程以及其应用题的教学被安排在初一上册，初一上学年是中小学之间重要的教学转折点，不仅存在较多的教学内容变化问题，更存在较多的教学方式生的衔接问题，学生思维转变上的问题。因此，一元一次方程“利润”相关的应用题教学时，教师不仅要从教材内容出发，还要时刻关注学生思维方面的转变，及时调整教学方式、内容或进度。
　　关键词：一元一次方程;利润问题;教学
　　一元一次方程是学生最早接触的运用未知数结合题目已知条件，通过建立等量关系从而解决方程问题的题型，它自身就是教学中的一个重难点，对于现代生活中常见的“利润”问题，方程能够有效解决这些问题，教师要进行正确且科学的引导。运用未知数与已知的条件，从而建立等量关系，进而求得未知数，这样的解题过程与小学阶段的直线思维解决直接的问题上存在较大的差别，学生在对问题进行解答的过程中需要不断切换两种不同的思维模式，不断培养学生思维能力，为今后的学习奠定正向以及逆向思维的思想基础[1]。
　　一、 一元一次方程知识点上的问题
　　一元一次方程教学中，其应用题不是独立的内容，是基于较多的数学方法以及内容，为了解决各种现实问题，而使用的方程式，其重要特征在于不同知识点之间的衔接。教学过程中，衔接不仅体现在数学知识方面的联系，更多的是在于问题的思维模式、寻找不同数学元素之间的联系，建立一定的等量关系，进而解决实际问题，在这样的解答过程中能够有效训练学生思维和逻辑，强化学生对于问题的分析和解答的能力。
　　（一） 方程和代数式之间的联系
　　利润相关的应用题，其最明显的特点在于要将实际问题背景、数学方法、理论等进行科学结合，然而问题背景更多的是以文字描述的形式呈现在学生面前，在对问题进行解答之前，学生要利用已知的文字描述中提取出有关联的数学信息，将这些文字内容转化为正确的数学符号语言，在这样的提取过程中就要运用代数式对其相关的数量关系进行表述，这就是列出方程式对实际问题进行解答的基础，只有精准的将各个未知量和已知量间的关系找出来，所罗列的方程才是正确的[2]。在对应用题进行列方程时，运用代数式将文字呈述的内容通过思维转化成数学语言，这是解答中最关键的步骤，也是对各种数学应用题进行解答时的关键步骤，是建立数学模型以及求解各种数学模型的基础。
　　（二） 方程与函数之间的联系
　　中学阶段的数学，更多的是体现方程与函数间的紧密联系，在对诸多函数问题进行解答时，可以运用方程思想。比如，在运用未知数对函数进行解析时，可以将问题化为相应的方程组，然后逐步解答，最终准确求出相关系数。
　　（三） 不同方程间的转化
　　不同方程问题间有着一定的联系，同时，不同形式方程可以互相转化。如若问题中只有一个未知数，可以直接找准等量关系，建立一元一次方程进行解答;如若题目中有两个未知数，则需要找到不同未知数各自的等量关系，建立二元一次方程进行解答，但是，不少实际习题解答中，如果题目已经将两个未知数相关的信息都包含得较为具体，可以不建立二元一次方程，可以利用相关的未知数和等量关系之间的联系，建立一元一次方程，运用“消元”的数学思维将二元一次方程准确的转化为一元一次方程[3]。
　　二、 一元一次方程中利润问题教学重点——数学逻辑
　　首先，要理解利润问题的基本关系：（1）利润=售价-进价;（2）利润率=利润/进价×100%;（3）打X折后售价=原售价×X÷10。然后再对各种利润问题进行解析和教学。
　　（一） 重视思维变通
　　小学数学内容较为单一，数学习题的难度偏低，在这样的学习中学生对于数学问题的解答方面也会产生一定程度的定式思维，在对一些习题进行解答时会受到定式思维的影响，这些都是教学方式不科学导致。初中数学难度增加、内容增多，小学的定式教学不能有效培养学生灵活应变的思维，因此初中数学需要更加注重学生思维上的迁移与变通的引导。一元一次方程式对学生思维训练的第一阵地，因为一元一次方程它的应用题内容涉及多方面，题目变化较多，只要正确引导学生，就能够让学生快速高效地掌握解答技巧。但是由于题目类型较为繁多，学生不能够在段时间之内将所有题型進行练习，单一的定向式教学不能让学生有效掌握这部分知识，因此一元一次方程解决利润问题教学时，要注重对学生思维的引导，让他们通过思维变通来深入理解题目内涵，例题如下：
　　某商场的一个服装店准备装修升级，因此对大量商品进行了调价，现了解到一件T恤衫是按原价的8折进行出售的，打折之后T恤衫的利润率是20%，已知T恤衫的原价是63元，那么T恤衫的进价是多少元？
　　这道题粗略看去，题目中含有两个未知数（一是T恤衫的进价，二是T恤衫的折后价）难道要用二元一次方程进行解答？会让学生有一种习题超纲的感觉，只要心细读题，我们不难发现这两个未知数之间存在一定的联系，其中进价与折后价能够通过已知的其他量进行表示，将进价设为X，因为利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%，则利润=利润率×进价，即可知利润率×进价=售价-进价（X×20%=63×8÷10-X），那么解得X=42，因此进价42元。对于这种内部互相存在联系的题目，各数之间的关系是较为多变的，不仅内部自检的联系有变化，而且已知数与未知数之间可以互相转换。因此在教学中，教师要引导学生分析题目各数之间的关系，通过变通思维，改变不同数之间的联系，建立一定的等量关系，继而准确地进行习题解答。
　　（二） 强化思维拓展训练
　　一元一次方程在利润问题中出现的形式低多样的，不同类型题目的解答方式都不尽相同，如果不能找到正确的解答方法，不仅会浪费大量时间，而且不一定能够得到正确的答案，因此教师在教学时，要多方面拓展训练，不断锻炼学生思维的灵活度。例题如下：
　　某家文具店有两个不同进价的计算器，但是这两种计算器的售价均为64元，其中一种计算器可以盈利60%，另一种计算器则要亏损20%，如果一个顾客同时购买这两种计算器，那么在这次买卖中，文具店（ ）
　　A. 赚8元 B. 亏8元 C. 不赚不亏 D. 赚32元
　　这道选择题最终问的是利润，对于接触一元一次方程不仅的学生，他们会思考这个题有两个未知数，不是需要建立二元一次方程么？但是教师要引导学生建立一元一次方程，立足于“利润=售价-进价”从而快速解答习题。因为有两种计算器，他们的进价都不相同，引导学生分别建立一元一次方程，设两种计算器的进价分别为X1元、X2元，那么可以分别列出：X1（1+60%）=64，X2（1-20%）=64，求得X1=40，X2=80。那么利润=64×2-（40+80）=8，因此文具店赚了8元，选择A。老师在讲解利润问题时，需要学生有一定的数学思维，且在对基础的利润、售价、进价等管理的理解上进行，引导学生找出解题的突破口。如此题，最终问的利润就是一个突破口，而售价是已知的，那么只要找出不同计算器的进价，利用未知数和已知数之间的等量关系，这个题就能解答出来了。
　　三、 结语
　　综上所述，一元一次方程解决利润问题的教学中，教师要重点训练学生分析题目的态度和能力，培养学生数学逻辑思维习惯，立足于不同数量之间的等量关系，对实际题目进行解答。教学实际中，教师要激励学生多分析、深思考、变思维，勇于尝试，积极提问，使学生在解答不同类型利润问题的时候能够深化对数学知识的理解，培养学生良好的解题习惯，提升学生学习能力。
　　[参考文献]
　　[1] 郑淑方.3.4实际问题与一元一次方程（探究1）教学设计[J].新课程（中学），2017（3）.
　　[2] 冀怀忠.理解教材编写意图确保教学内容严谨——“打折销售”教学思考[J].中小学数学（初中版），2019（Z1）.
　　[3] 刘顿.商品交易与一元一次方程[J].中学生数理化：配合人教社教材，2015（10）.
　　（作者单位：甘肃省天水市麦积区龙园中学，甘肃 天水 741020 ）
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