随机非线性多智能体系统一致性研究

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　　摘要：为解决多智能体系统领导一跟随一致性问题，针对有向拓扑下存在时变通信时滞随机发生问题，考虑系统鲁棒性及时滞对一致性的影响，设计分布式控制协议，并对该协议的有效性进行理论分析。首先，根据每个智能体的动力学模型及控制协议，通过模型变换建立误差系统，将多智能体系统一致性问题转变为误差系统稳定性问题;其次，构造合适的Lyapunov-Krasovskii泛函，基于Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式理论，给出系统实现一致性的充分条件，并求解线性矩阵不等式得到控制增益矩阵。最后，通过MATLAB软件进行数值仿真，验证结果的有效性。
　　关键词：领导者;时变时滞;随机非线性;多智能体系统;一致性
　　DOI： 10. 11907/rjdk.191751
　　开放科学（资源服务）标识码（OSID）：
　　中图分类号：TP301
　　文献标识码：A
　　文章编号：1672-7800（2020）004-0125-06
　　Leader-following Consensus of Multi-agent Systems with Randomly Nonlinearities
　　SUN Yan-peng， PENG Shi-guo， CHEN Ke-xi
　　（Sch.ool of Autonzation ， Cuangdorzg Un iversity of Tech.nology ， Cua ngzhou 5 1 0006 . Ch.ina ）Abstract： Considering the influence of robustness and time delay， the main purpose of this paper is to study the leader-following con-sensus problem of multi-agent systems. In this paper， a distributed control protocol is proposed for multi-agent systems with randomlyoccurring nonlinearities and time-varying communication delay in a directed topology. At f'irst. according to the dynamic model of eachagent and the designed control protocol， the error system is established by model transformation. and the consensus problem of'multi-agent systems is transfonned into the stability of' error system. Then. based on Lyapunov stability theory and linear matrix in-equality theory， sufficient conditions are ohtained to achieve consensus by constructing a suitable Ly apunov-Krasovskii functional.and the control gain is obtained to solves the linear matrix inequality . Finally， a MATLAB numerical simulation is presented to verifythe ef'f'ectiveness of the theoretical results.Key Words ： leader; time-varying delay; randomly nonlinearities; multi-agent system; consensus
　　O 引言
　　近年來，多智能体系统协同控制理论获得了快速发展，产生了大量的理论成果。多智能体系统一致性在不同领域广泛应用，已成为热点研究课题[1-2]，如分布式传感器网络中的协同目标跟踪、车辆及移动机器人编队控制等。一般来说，根据系统中领导者数量，一致性问题大致分为无领导者的一致性和有领导者的一致性，后者也称为分布式跟踪问题，其目标是使各跟随者的状态与领导者状态保持一致[3]。过去数十年来，许多研究者从多种视角研究不同动力学模型的领导一跟随一致性，并涌现出许多有价值的成果。
　　在许多物理系统，如通讯及工业控制系统中，由于信息传输速度受限、传输通道拥堵等原因，时滞在网络化多智能体系统中总是不可避免地出现[4]。时滞的出现对整个系统的性能影响很大，例如系统稳定性、收敛速度等。因此，研究存在时滞的多智能体系统一致性问题非常必要。文献[5-7]研究仅含有通信时滞的一致性问题。通信时滞主要指某个智能体与其邻居之间信息传递过程中产生的时间延迟;文献[8-9]研究仅带有输入时滞的系统一致性问题;文献[10]对带有输入时滞及通信时滞的系统进行一致性分析;文献[11-12]对含有常数通信时滞的二阶多智能体系统进行一致性分析，并求得达到一致性的充分条件。从两类时滞角度看，上述研究更关注线性系统和常数时滞。但是，由于在复杂控制系统中时滞具有不确定性，时变时滞更具有研究价值。文献[13]使用脉冲控制方法研究了具有不确定和随机发生非线性的多智能体系统一致性;文献[14]研究了具有非线性输入项的非线性多智能体系统的领导一跟随一致性，且该分布式控制协议保证系统一致性;文献[15]研究具有时变输入时滞的线性多智能体系统分布式一致性;文献[16]研究具有时变通信时滞的非线性多智能体系统一致性;文献[17-19]基于模型简化法研究多常数时滞的多智能体系统一致性问题，将系统转化为不含时滞的系统。然而对带有时变时滞的非线性多智能体系统的一致性问题研究成果相对较少。 　　控制系统在工作过程中时常发生故障，且不可避免，如控制输入传输故障15及执行器失效等。执行器失效[16]可能影响系统的满意性能，破坏系统稳定性。基于系统的安全需求及更高的可靠性和鲁棒性，设计一个有效的分布式控制协议十分重要。由于外部环境的不确定性及外部干扰的出现，每个智能体的内部动力学模型一般是动态变化的，故随机非线性出现在所难免。但多智能体系统存在随机发生非线性行为和执行器失效情况，而在现有文献中未发现被研究。
　　受上述文献启发，本文主要研究含有随机发生非线性行为及时变时滞的多智能体系统。通信拓扑采用有向图，在系统存在执行器故障情况下设计合理的分布式控制协议，保证系统的领导一跟随一致性。与文献[16]相比，本文在智能体模型中加入随机非线性行为更具有普遍意义。相较于文献[15]，本文执行器故障是随时间改变不断变化的，且时变时滞发生在信息传输过程中，其应用范围更广。与以往文献不同的是，无论系统中的执行器是否完好，系统都能在控制器作用下达到理想的一致性效果。
　　1 预备知识
　　1.1图论
　　智能体之间的信息传递用有向拓扑图表示，即 ，其中G中包含Ⅳ个跟随智能体， ， 是有向图的节点。 表示边集，G的有向边 表示智能体i向J传递信息。 是G的加权邻接矩阵 的元素含义如下：若 ，那么 ，否则 。假设G中无重复边即 ，
　　2， 另外 是节点V;的相邻节点集。拉普拉斯矩阵定义为 ，，节点o表示向其它智能体发送信息的领导智能体。其中，领导者与跟随者的通信拓扑用有向图G表示。图G的结构用矩阵 表示 ， ，若（0，i）是G的边，则 ，否则 。
　　1.2相关引理
　　引理1[20]：存在任意对称正定矩阵 ，使以下不等式成立。
　　引理2[21]（柯西不等式）：对于任意适当维数的对称正定矩阵 ，使得以下不等式成立：
　　引理3[21]（schur补定理）：对于一个给定对称矩阵
　　等价。
　　2模型描述
　　随机发生非线性及时变时滞的多智能体系统N个跟随智能体动力学模型如下：
　　其中 ，表示智能体i的状态; 是表征智能体白身动力学行为的非线性函数， 是伯努利分布序列，A，B是已知的实常数矩阵，UF（t）表示智能体i在执行器失效情况下的控制输入。领导者动力学模型如下：
　　表示领导者状态， 表示领导者白身动力学行为的非线性函数。
　　假设1： （2）r（t）具有以下性质：概率的取值用r表示，取值范围是r∈[0，1]，E{r（t）-r）=0。
　　假设2：非线性函数f （xl（f），f）對任意向量x，y∈RN，存在非负常数s，满足 ，则称该函数满足Lipschitz条件。
　　定义：如果对任意初始条件 成立，那么误差系统（6）是渐近稳定的，从而多智能体系统能实现领导一跟随一致性。
　　为了保证各个跟随者状态与领导者一致，设计带有时变通信时滞的分布式控制协议形式如下：
　　从上述协议可以看出，各智能体通过与邻居智能体或领导者进行信息交换更新当前状态信息。其中，d（t）表示通信时滞且满足以下条件：0≤d（t）≤d，d（t）≤U<1，K表示控制增益矩阵。
　　将式（3）代人式（1）得到动力学模型（4）。
　　令领导者和跟随者的状态误差表示为 xN（t），基于公式（4）可得到以下误差系统表达式：
　　其中， 。
　　综上所述，将系统模型简化为如下误差动力学模型：
　　其中， 表示误差状态向量，表示非线性函数， 代表时变故障函数。
　　3 主要结果
　　定理：给定任意常数 ，存在正定矩阵 ，和任意矩阵Z，使以下不等式成立：误差系统（6）在控制协议作用下是渐近稳定的，从而使多智能体系统中的跟随者状态与领导者保持一致。其中：
　　计算函数沿着系统（6）的解轨迹导数：
　　根据假设2可以得出：
　　将式（6）代入上式：
　　应用引理2，对于任意对称正定矩阵 ，保证以下两个不等式成立。
　　综上可得：
　　则矩阵各元素表示如下： 其余的元素项取值是0。
　　由于控制增益K的影响，H不是线性矩阵不等式，令 ，矩阵H分别左乘和有乘6次，根据P= ，得到公式（7）的左边矩阵。若 .则 。由此可以得出结论，误差系统是渐近稳定的，证毕。
　　4数值仿真
　　假设多智能体系统具有一个领导智能体0和跟随智能体1，2，3，4，系统拓扑如图l所示。
　　各智能体初始状态取值 随机变量取值为l时其概率r=0，5，时变时滞取值为 ，非线性函数表示成，使函数满足Lipschitz条件。假设故障函数是 ，其中 ，是2x2的单位矩阵，令系统矩阵为：
　　结合上述给出的系统参数，利用MATLAB软件的LMI工具箱求解不等式（7），并验证其可行性。然后从求解式（7）可以得到状态反馈增益矩阵。
　　根据以上参数和增益矩阵K，得出误差系统的状态响应曲线如图2所示。
　　图2表明：随时间的增加，各个智能体与领导者的状态误差逐渐减小并趋于零，最终稳定于零。这表明在控制协议（3）作用下，该多智能体系统也实现了领导一跟随一致性，协议有效件得到验证。
　　5 结语
　　本文主要研究了存在有界时变时滞的随机非线性多智能体系统领导一跟随一致性问题。基于Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式理论得到系统实现一致性的分布式控制协议及控制参数。最终的数值仿真证明了控制算法的有效性。未来将研究含有常数输入时滞及分布式时滞多智能体系统的一致性问题，并在设计控制器时引入脉冲控制及事件触发控制等，使控制效率更高，收敛速度更快，以有效降低控制成本。 　　参考文献：
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　　收稿日期：2019-05-23
　　基金项目：广东省自然科学基金项目（ S2013010013034）
　　作者簡介：孙艳鹏（1992-），女，广东工业大学自动化学院硕士研究生，研究方向为多智能体系统分布式一致性;彭世国（1967-），男，博
　　士，广东工业大学自动化学院教授，研究方向为非线性复杂网络同步;陈珂熙（1994-），男，广东工业大学自动化学院硕士研
　　究生，研究方向为多智能体系统异步一致性。
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