中考数学勾股定理解题探究

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　　摘 要：勾股定理作为最基本的几何定理，不仅是初中生必学的学习知识，同时也是中考的考点之一，它不仅揭示了直角三角形中三边的数量关系，同时也帮助学生得到了思维能力的提升。为此，本文主要从教材、学情、过程、方法等内容对勾股定理进行数学探究分析，通过对学生学习兴趣的激发、强化学生的数学思想，从而提高学生的数学能力。
　　关键词：中考;数学解题;勾股定理
　　一、 《勾股定理》教学分析
　　（一） 合作交流
　　为充分提高学生的课堂参与性，我们可以让每一个同学在纸上画一个任意的直角三角形，然后让学生进行三条边的测量，从而计算三边长的平方，让学生猜一猜他们三个之间的数量关系，随后让小组选择一名优秀代表以课堂老师的身份进行这一知识内容的讲解，这样既可以落实学生的课堂主体地位，同时也可以实现相互促进、共同发展的教学局面。
　　（二） 情境创设
　　对于初中的教育教学而言，除了让学生掌握牢固的数学知识外，还要让学生得到数学实践能力的培养，为此，在进行勾股定理这样一节数学教学时，我们可以为学生提供剪刀、纸板等道具，让学生利用四个三角形进行一个正方形的搭建，在数学建模中让学生进行勾股定理的猜想验证，从而培养学生的自主探究能力。
　　二、 《勾股定理》解题策略
　　（一） 深化教材，选择解析
　　勾股定理对于中考而言，一方面来源于选择题、填空题，另一方面则是应用题的证明，我们可以从以下几方面进行分析总结：
　　1. 在一张直角三角形的纸片中，两直角边AC=6cm，BC=8cm。现在将△ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（  ）
　　A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 10cm
　　分析：由于两直角边AC=6cm，BC=8cm，我们可以得出AB=10cm，将△ABC折叠，使得点B与点A重合，我们可以知道BE=AE=5cm，所以选择B，利用轴对称知识内容进行这一勾股定理数学知识的解决，在分析中锻炼学生的思维能力。那么，在进行这一问题的解决时，我们可以充分利用实践操作，让学生通过动手进行数学实践能力的提升，从而深化学生的理解程度。
　　2. 在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D并且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离为（  ）
　　A. 5B. 3C. 4D. 9
　　分析：在Rt△ABC中，我们可以根据勾股定理得：DA=BD2-AB2=52-42=3，又因为D为∠ABC的角平分线上的点，它到BA，BC边的距离相等，所以我们可以知道点D到BC的距离等于DA之长为3，通过利用角平分线这一定理内容使得这一数学勾股问题得以解决，在数学知识点融合中活化学生的思维建设。为此，我们可以通过数与形的结合培养学生的分析能力，在数学建模中活化學生的思维建设。
　　（二） 证明判定
　　1. 利用勾股定理求解线段问题
　　对于初中勾股定理这一数学内容的学习而言，“线段求长”这一问题可以说是最常见的一种形式，不论是在选择还是填空都会有所涉及，那么对这一种问题而言，倘若沿用传统的方式不仅会增大解题难度，同时也会降低学生的学习兴趣，而勾股定理就不同了，它可以有效将这一问题进行转化，在直观化的展示中通过观察分析使得这一问题得以解决。如在三角形ABC中，已知∠ABC=90°，AB=BC，三角形的三个顶点分别位于相互平行的三条直线l1、l2、l3上，并且l1与l2之间的距离为2，l2与l3之间的距离为3，求AC的长度。
　　解题分析：我们可以过点A作l3的垂线交l3于点D，然后再过点C作l3的垂线交l3于点E，由已知条件，我们可以得出∠ABC=90°，AB=BC这一数学知识点，从而我们可以知道Rt△ABD与Rt△BCE全等，所以AD=BE=3，DB=CE=5;进而得出AB2=BC2=32+52=34，在直角三角形ABC中，AC2=AB2+BC2=68，所以AC=217。在这一数学应用中，对于求解线段长度这一问题而言，它的运用不仅可以简化解题思路，同时也大大提高了学生的思维建设。
　　2. 利用勾股定理求解面积问题
　　在中考中面对勾股定理这一数学考点，我们会发现它的出现通常是以综合性的形式展示在我们的面前，不仅会涉及四边形、全等三角形，同时也会涉及角等综合性数学知识，对于面积的证明题而言，出现在中考压轴的概率非常大，就好比这一常见的问题分析：
　　在三角形ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，现在将三角形ABD沿着AB所在的直线进行折叠，使得点D落在点E处，将三角形ACD沿着AC所在的直线折叠，使得点D落在点F处，分别延长EB、FC交于点M，求：
　　（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明。
　　（2）若BD=1，CD=2，试着求四边形AEMF的面积。
　　解题分析：通过折叠的操作，我们可以发现一些相等的量和变化的量，从而可以借助背景中的角度构建出直角及相等的边，进而发现四边形的形状，通过直角三角形的勾股定理求解边长，从而得出面积。如：
　　解1：因为AD⊥BC，而△AEB是由△ADB折叠所得，所以∠BAD=∠EAB，∠E=∠ADB=90°，BE=BD，AE=AD，又因为△AFC是由△ADC折叠所得，所以∠DAC=∠FAC，∠F=∠ADC=90°，FC=CD，AF=AD，所以AE=AF，又因为∠BAD+∠DAC=45°，所以∠EAB+∠FAC=45°，所以∠EAF=90°，由此可以得出，四边形AEMF为正方形。
　　解2：设正方形AEMF的边长为x，依据题意知：BE=BD，CF=CD 　　所以BM=x-1;CM=x-2
　　在Rt△BMC中，由勾股定理得出：BC2=CM2+BM2
　　所以（x-1）2+（x-2）2=9，x2-3x-2=0
　　解之得：x1=3+172 x2=3-172（舍去）
　　所以S正方形AEMF=3+1722=13+3172
　　3. 利用勾股定理求解角度问题
　　在初中数学当中，求角问题是勾股定理问题解决的常见现象，如何让学生掌握这一知识内容，夯实学生对勾股定理这一数学知识的掌握，我们可以通过分析求角这一种题型，加深学生的数学理解能力。如：在等边三角形ABC中，有一点P，已知PA、PB、PC分别等于3、4、5，试问∠APB等于多少度？
　　解题分析：对于这一问题，我们可以先把三角形APC绕着点A做旋转，从而旋转至三角形ABQ，让AB和AC能够重合，此时，我们可以发现AP=AQ=3，BQ=PC=5，∠PAQ=∠BAC=60°，从而进行这一角度问题的解决。
　　由此可以得出，△PAQ为等边三角形，所以PQ=3;在三角形PBQ当中，PB、BQ分别等于4、5，所以，三角形PBQ为直角三角形，其中∠BPQ=90°;所以∠APB=∠BPQ+∠APQ=90°+60°=150°。在进行这一问题的解决时，为有效提高学生的课堂参与性，我们可以让学生先做假设，然后做出步骤讲解，从而使得学生在计划性解决思路中得到数学能力的提升。
　　4. 利用勾股定理進行函数资源整合
　　对于中考而言，如果单单设计勾股定理这一知识内容基本上都处于填空选择之类的题型，对于证明题必然会涉猎多元素数学知识内容，在资源整合中考查学生对勾股定理的掌握，这样既可以锻炼学生的思维建设，又可以优化学生的数学素养，使得学生在数学证明推导中得到数学能力的综合提升。
　　三、 浅谈《勾股定理》与三角形知识整合
　　为有效提高学生对勾股定理这一数学知识的掌握，我们可以通过勾股定理与数学知识间的联系为学生分析这一板块内容，在知识的联系中让学生体会数与形之间的关系，从而为学生掌握勾股定理、运用勾股定理解决数学问题奠定坚实的基础条件，通过对三角形知识的整合使得学生对勾股定理这一知识有一个深入的掌握，在夯实基础知识的同时使得学生得到数学思维与数学能力的拓展。
　　参考文献：
　　[1]王艳红.基于初中数学勾股定理教法创新探索[J].数理化解题研究，2017（5）.
　　[2]曹新明.数学思想方法在勾股定理中的应用[J].数理化解题研究（初中版），2018（3）：7-8.
　　[3]徐芬.让初中数学探究式教学变得更真实有效——《勾股定理》教学片断与评析[J].中学生数理化：学研版，2018（11）：21.
　　作者简介：
　　李保民，甘肃省兰州市，甘肃省兰州树人中学。
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