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趣谈数学中的一去与一回的教学研究

作者:未知

  【摘要】学生学习数学在一定程度上还是有难度的,就连马云都如此。本文借助一去与一回又回到原点的思路来谈小学、中学、大学的数学教学,相互启发,举一反三,温故而知新,以期达到学生感兴趣、减轻学习难度的目的。
  【关键词】一去一回 回到原点
  容易明白把去理解为正方向,把回理解为去的反(或逆)方向,一去与一回相互抵消后又回到原点。本文谈的是初等数学中变量x(其实变量x也是函数)的一去与一回又回到原点及高等数学中函数F(x)的一去与一回又回到原点两种情形。
  一、初等数学中变量x的一去与一回又回到原点
  (一)乘法与除法中变量x又回到原点
  例1 2x=y是x的一去为乘法运算,那x=y/2就是x的一回为除法运算。
  由于x经过乘法运算与除法运算后又回到原点,说明乘法运算与除法运算相互抵消,故把乘法运算叫正运算,把除法运算叫乘法的逆运算。
  例1是小学数学,比较简单,通过此来理解下面的两个中学数学的例子。
  (二)乘方与开方中变量又回到原点
  由于x经过乘方运算与开方运算后又回到原点,说明乘方运算与开方运算相互抵消,故把乘方运算叫正运算,把开方运算叫乘方的逆运算。
  (三)指数与对数中变量x又回到原点
  例3ax=y是x的一去为指数运算,那x=logay就是x的一回为对数运算。
  由于x经过指数运算与对数运算后又回到原点,说明指数运算与对数运算相互抵消,故把指数运算叫正运算,把对数运算叫指数的逆运算。
  需要说明的是,xa是幂函数,而ax是指数函数,千万不要搞混。
  由于x经过函数运算与反函数运算后又回到原点,说明函数运算与反函数运算相互抵消,故把函数运算叫正运算,把反函数运算叫函数的逆运算。
  例4是抽象函数f(x)的正运算与抽象函数f-1(y)(习惯上把f-1(y)写成f-1(x))的逆运算
  以上4个例子不仅可以相互推导,而且其关键问题是,原来的x经过正运算与其相应的逆运算两种运算后x又回到原点,这样的两种运算就是互逆运算。
  一中談到的一去就是已知x把y求出来,一中谈到的一来就是已知y把x求出来。
  由于F(x)经过微分运算与积分运算后又回到原点,说明微分运算与积分运算相互抵消,故把微分运算叫正运算,把积分运算叫微分的逆运算。
  例5是抽象函数F(x)的正运算与抽象函数f(x)的逆运算。若把例5具体化:当已知F(x)=sinx时,那正运算的结果就是f(x)=COSX;当已知f(x)=COSX时,那逆运算的结果就是F(x)=sinx。
  二中谈到的一去就是已知F(x)把f(x)求出来,二中谈到的一来就是已知f(x)把F(x)求出来。
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