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利用数学史优化数学教学设计

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  【摘要】数学史是数学文化的重要组成部分,却渐渐被大家所淡忘。自2005年第一届“全国数学史与数学教育会议”在西北大学召开以来,HPM(History and Pedagogy ofMathematics)日益受到我国数学教育界的关注,关于数学史教育价值的讨论层出不穷,一些HPM教学案例亦悄然诞生。HPM在情感态度价值观方面的作用得到了广大数学教育工作者的认同,而在认知方面的作用却始终受到质疑,这就造成了HPM在公开课、评比课上频繁亮相,而在日常教学中却无人问津。因此,数学史应用于数学教学上仍然存在很大的阻碍。
  数学史应用于数学教学的最重要的依据之一是历史发生原理,即个体对数学概念的认知发展过程与该概念的历史发展过程相似。结合以上存在的现象,本论文主要从数学史应用于数学教学的现状、理论基础(新课标要求)和利用数学历史发生原理设计的教学案例分析等几个方面,说明了将数学史应用于数学教学的重要性,如何将数学史应用于数学教学,以及对数学史应用于课堂的美好展望。
  【关键词】数学史;HPM;数学教学;历史发生原理
  一、将数学史应用于数学教学的重要性
  目前,对于中学数学教材中出现的一些数学史知识,多数教师认为数学史在课堂教学中能激发学生学习兴趣,但认为其与测试评估无关或因自己的无知而匆匆带过。因此,纵然数学史是数学文化的重要组成部分,仍然没有在课堂上得到一席之地,没有得到应有的重视。
  《全日制义务教育数学课程标准》要求分学段介绍有关的数学背景知识,在第一学段要求教材可以在适当的地方介绍一些有关数学家的故事、数学趣闻与数学史料,使学生了解数学知识的产生与发展首先源于人类生活的需要,体会数学在人类发展历史中的作用,激发学生学习数学的兴趣。第二学段要求教材注重体现数学的文化价值。在对数学内容的学习过程中,教材可以在适当的地方插入介绍一些有关数学发现与数学史的知识,丰富学生对数学发展的整体认识。对后续学习起到一定的激励作用。第三学段要求教材要包含一些辅助材料,如史料、进一步研究的问题、数学家介绍、背景材料等,这样不仅可以使学生对数学的发展过程有所了解,激发学生学习数学的兴趣,还可以使学生体会数学在人类发展历史中的作用和价值。在各学段都对数学史料的出现形式,内容与目标做出了具体的安排与要求。
  我国《普通高中数学课程标准》将“体现数学的文化价值”作为课程的基本理念之一,数学文化日益受到人们的关注。师范院校数学文化课程建设如火如荼,中学数学文化校本课程悄然诞生。然而,数学文化的主要载体是数学课程,而非数学文化课程;数学文化传播的主阵地是数学课堂,而非数学文化课堂。
  新一轮的数学课程改革已将数学文化提到了重要位置,数学文化是人类的本文化,它不仅包括数学的知识成份(命题、方法、问题、语言),还包括数学的观念成份(数学的精神、思想)。著名数学家徐利治指出:数学教育理应具有“文化素质教育”功能,在很高的水平上陶冶和塑造优秀的科学文化人。他说:我们所说的“科学文化人”泛指具有较高文化素质,能够体现“数学精神”,且能够在不同程度上理解并运用“数学思想方法”的科技人才。要使学生理解数学文化价值的内涵(数学是一种科学的语言,一种思维的工具,一种思想方法,一种理论精神,一种艺术),我们就需要通过数学史的文化诠释,将作为数学文化载体的数学史融入数学教学,增进学生的数学理解,使学生形成正确的数学观。
  可見,现行的教学大纲对数学史优化数学教学设计给予了一定的重视。
  二、如何将数学史应用于数学教学
  数学史材料的搜集是数学文化传播的基础,没有足够的素材,就会陷入“巧妇难为无米之炊”的境地,数学文化融入数学教学也就成了一句空话。因此,利用数学史优化数学教学设计的过程一般分为以下六步:搜集数学史材料→创争合适的话题→分析课堂需要→设计教学活动→实施课堂教学→评价课堂活动。
  下面具体给出一个利用数学史优化数学教学设计的案例。
  一元二次方程求根公式的推导过程:
  大英博物馆藏巴比伦泥版BMI3901上有如下问题:正方形面积与边长之和为3/4,求边长。解法:置投影1,半之,得1/2,1/2和1/2构成矩形,将1/4与3/4相加,得1,从中减去1/2,即得边长为1/2。巴比伦人上述解法的依据乃是图3-1所示的几何图形。将置于正方形一边上的长为1、宽与正方形边长相等的长方形按虚线剪开,剪下的一半置于正方形的另一边,然后补一个边长为1/2的小正方形,即得一大正方形,其面积为3/4+1/4=1,边长为1,减去1/2,即得所求正方形的边长。
  (一)几何方法引入
  让学生分组合作,用任何方法解下面的问题。
  问题1:已知矩形的半周长为20,面积为96。求矩形的长和宽。
  在学生完成之后,教师在黑板上用硬纸板介绍几何方法如图2:取边长为10的正方形,其面积为100;割去面积为4的正方形(边长为2),余下的面积为96;按虚线剪去小矩形(长为8,宽为2);将小矩形竖直放置在右侧。
  于是,所求的矩形长为12,宽为8。
  接着,教师让学生用几何方法解类似的问题:已知矩形的半周长为12,面积为30。求矩形的长和宽。注意,此时应割去的小正方形边长为无理数。让学生书面总结解这类问题的一般步骤。
  (二)合作讨论与提出问题
  分组讨论解上述问题的步骤、出现矛盾的情形,每组选一名代表向其他组介绍自己所在组的讨论结果。接着,教师让学生自己提出类似问题,分别要求:所求矩形的长和宽为整数;所求矩形的长和宽不能为整数。
  (三)新的矩形问题
  教师提出新的问题。
  问题2:矩形的长为10,宽未知。在矩形一边放一正方形,如图3所示。已知矩形和正方形面积之和为39,问矩形的宽为多少?   让学生用解问题1的方法来解本题。若学生不能完成,教师用硬纸板演示新的解法(图3):将原矩形沿竖直方向分割成两半;其中一半粘到正方形的底边;在右下角补一个边长为5的小正方形。于是,整个正方形的面积为39+25=64,从而得边长为8。因此,x+5=8,x=3。
  接着,教师让学生书面总结解这类问题的一般步骤。
  (四)求根公式的再发现
  教师提问:根据前面总结的解题步骤,能否找到一般公式,直接求得问题2解呢?引导学生用字母b表示问题2中矩形的长,c表示矩形和正方形的面积之和。分组讨论矩形宽的计算公式:
  教师将上述几何问题翻译成代数语言:
  x2+bx=c(b)
  (a)式即为该方程的求根公式。接着,教师让学生用该公式解具体的一元二次方程,如x2+8x=9,x2+15x=75等,接下来,教师让学生找出一元二次方程
  ax2+bx=c(c)
  的求根公式,引导学生将二次项系数化成1,即方程两边同除以a,即得方程(b)形式
  x2+b/ax=c/a
  故在公式(a)中用b/a代替b,用c/a代替c,即得公式
  最后,考虑一般方程
  ax2+bx+c=0(e)
  为了获得一元二次方程的所有根,我们必须考虑b2-4ac的负平方根,因此,方程(e)的完整的求根公式即为
  这个例子的设计使用了数学历史发生原理,通过几何方法引入一元二次方程的解法,较符合学生的认知规律,体现了发生教学法的主要特征之一:主题之可接受性,即所引入之新主题建立在学生已有的认知基础之上。
  三、对将数学史应用于数学教学设计的展望
  F·克莱因曾指出:“教学应遵循人类从知识的原始状态到更高级形式的道路。推广这种自然的真正科学的教学的主要障碍是缺乏历史知识。”百多年后的今天,克莱因所说的障碍依然存在,要想将数学史更好的利用于数学教学设计,我们需要抓好以下几点:第一,多数中学数学教师缺乏数学史知识,对数学史与数学教育之间的关系更是不甚了了。窃以为,“数学史与数学教育”应该成为数学教师在职培训的课程。第二,设立中学数学教师数学史论坛,成为数学史与数学教育交流平台和阵地。第三,在进行数学史融入数学教学设计和教学实践时,先由大学教师完成相关主题的历史研究,获得历史材料,然后由大学与中学的教师合作,根据需要对材料进行加工,使之适合于教学,最后由中学教师将加工后的材料用于教学设计,并付诸实践。第四,要让更多数学教师接受数学史运用于数学教学设计的实践,首先就必须让他们看到数学史应用于数学教学案例的成功之处,我们需要更多的关于数学史的案例。第五,独木难成林。有一个志同道合、不断进取的团队,共同为数学史应用于数学教学设计服务,才能使其不断壮大。
  【参考文献】
  [1]汪晓勤,王晓军.HPM视角下的“图形旋转”问题探究[J].数学通报,2012,51(5):16-19
  [2]汪晓勤,朱卫平.数学文化融入数学教学的若干案例[J].中学数学月报,2013(1):50-52
  [3]张国定.数学史融入数学教学的实践研究[D].甘肃:西北师范大学,2007
  [4]张晓勤,皇甫华.一元二次方程:从历史到课堂[N].数学史语,2007-12
  [5]汪晓勤.HPM的若干研究与展望[J].中学数学月刊,2012(2):1-5
  数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学,简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程,而且還探索影响这种过程的各种因素,以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此,数学史研究对象不仅包括具体的数学内容,而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容,是一门交叉性学科。
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