代数不等式证明题破解４法

来源:用户上传      作者: 赵强华

　　代数不等式证明题，表面上看似简单，但不易找到证明途径.原因是：按惯用方法“出招”，往往不能奏效. 证明这种类型的不等式，需要的不仅是有全面的基础知识和娴熟的基本方法，更要有智慧，有创造性思维. 下面介绍4种破解这类不等式证明题的方法.
　　
　　一、缩元法
　　
　　例1 已知a、b、c、d都是小于1的正数，试比较abcd与a+b+c+d+3的大小.
　　思路 先就问题的简单情形进行尝试、探索，首先比较ab与a+b-1的大小.
　　∵a、b∈（0，1），∴ ab-（a+b-1）=ab-a-b+1=（a-1）（b-1）＞0，
　　∴ab＞a+b-1.
　　又∵a、b、c∈（0，1），∴ abc=（ab）c＞ab+c-1＞（a+b-1）+c-1，
　　∴abc＞a+b+c-2.
　　又∵a、b、c、d∈（0，1），∴ abcd=（abc）d＞abc+d-1＞（a+b+c-2）+d-1，
　　∴abcd＞a+b+c+d-3.
　　点评 “缩元”尝试，对问题展开探索，为解决问题铺路，能达到以简驭繁的效果.
　　
　　二、换元法
　　
　　例2 a、b、c分别是一个三角形的三条边之长，求证：
　　a/b+c-a+b/c+a-b+c/a+b-c≥3.
　　思路 麻烦的是不等式左边的三个分母，但细看可知，三个分母是与三角形中三条边长有关的式子，再细看，发现这三个分母的值均为正数（想一想，为什么）. 题目要证三个分式的和大于或等于3，思路自然会向均值不等式靠.如何达到？用“换元”转化法.
　　
　　点评 证明右边的不等式，经过三次放大，为了避免证题过程表述冗长，请同学们一定弄清每一次放大是依据什么，因为有效放缩是放缩法的精髓，是证题的关键. 此外，证右边不等式还有其他放缩途径，比如中间可以利用数列求和辅助放大，等等.
　　
　　四、构造法
　　
　　例4 设a、b、c的绝对值都小于1，求证：ab+bc+ac+1＞0.
　　思路 若将不等式化为（a+c）b+ca+1＞0，构造函数f（x）=（a+c）x+ca+1，则只需证明f（x）在区间（-1，1）上恒为正.
　　证明 设函数f（x）=（a+c）x+ca+1，∵ ｜a｜＜1，｜c｜＜1，则
　　f（1）=a+c+ca+1=（a+1）（c+1）＞0，
　　f（-1）=-（a+c）+ca+1=（a-1）（c-1）＞0.
　　∴ 直线y=（a+c）x+ca+1在区间（-1，1）内的部分在x轴上方，
　　∴ 当｜b｜＜1时， f（b）＞0，即（a+c）b+ca+1＞0.
　　∴ ab+bc+ca+1＞0.
　　点评 本题如用常规证法则很难成功，另辟蹊径，构造目标函数，则迎刃而解.
　　例5 （2001年全国高考理科第20题）已知i、m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.
　　
　　例6 若正数a、b、c满足a+b＞c，求证：a/(1+a)+b/(1+b)＞c/(1+c).
　　思路 不等式两边三个分式具有相同的结构，这使我们有了构造目标函数的机会，再探索通过函数的单调性来完成不等式的证明.
　　证明 设函数f（x）=x/1+x（x＞0），则
　　∵ f（x）=x/(1+x)=1-1/(1+x)，又x＞0，根据函数单调性定义，易于判断f（x）是增函数.
　　∵ a+b＞c， ∴ f（a+b）＞f（c）.
　　而f（a+b）=(a+b)/(1+a+b)=a/(1+a+b)+b/(1+a+b)＜a/(1+a)+b/(1+b)=f（a）+f（b），
　　∴ f（a）+f（b）＞f（c）.
　　∴ a/(1+a)+b/(1+b)＞c/(1+c).
　　（编辑 孙世奇）

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