三角函数最值问题总结
来源:用户上传
作者:
摘要：三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合运用，是高考的重点内容，同时也是难点。由于三角函数的最值问题涉及的广泛性、综合性、灵活性较强，解决起来往往不是那么容易，针对这类问题，我们只要找到恰当的方法，问题就能迎刃而解，下面就这几类问题介绍几种求三角函数最值问题的方法。
关键词：三角函数 最值问题 转换法
一、前言
三角函数是中学数学的重要内容，同时也是以后的数学学习所必须的内容。由于三角和代数、几何知识的密切联系，它又是研究其他相关知识的重要工具。在复数的三角形式、参数方程、几何计算以及某些代数问题中都有着十分广泛的应用。
三角函数主要体现了等价的数学思想，三角函数问题无论是三角函数的求值题、求最值题、综合题、探索题还是应用题，均以考查三角变换为核心，所以熟练掌握并能灵活应用有关三角函数的公式，掌握变换技巧与方法对高中生来说是很必要的。三角函数的最值问题是历年来高考的必考内容，同时也是难点，如果找不到这类问题求解的“技巧”，遇到这种问题时往往无从下手，本文从基本的方法入手，介绍三角函数的最值问题的求解。
二、三角函数的最值问题
这种题型大致可以分为三类：化为正弦函数或余弦函数，然后利用三角函数的有界性进行求解；换元法求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值；利用一元二次函数的根的判别法求函数的最值。
（一）利用函数的有界性，求三角函数的最值
此方法主要解决形如y=（a，b，c，d∈R）的三角函数的最值问题，此类问题可化解为：sinx=的形式，然后利用sinx∈[-1，1]解不等式，求y的取值范围。
例1：求y=的最小值。
解：由y=得：sinx-ycosx=2-y∴sin（x-φ）=2-y
即sin（x-φ）=，故-1≤≤1，解得y≥。
故y的最小值为。
例2：求函数y=的最值。
解：∵y=
∴ysinx-2=2sinx+1
∴sinx=
又-1≤sinx≤1
∴-1≤
∴y∈[-3，]
故ymax=ymin=-3
注：以上介绍的是关于cosx的这类题型的计算，当然，关于 的题目，类似的可如法刨制。
（二）换元法求函数最值
基本思想：在仅含有sinx+cosx（或sinx-cosx），sinx・cosx的有理式中，设sinx+cosx=t（或sinx-cosx=t），则sinx・cosx=（或sinx・cosx=），原式可化为只含有t的有理式。
例3：求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值。
解：设sinx+cosx=t，则sinx・cosx=（|t|≤）
原函数化为y=t2+t-，亦即y=（t-1）2-1（|t|≤）
当t=时，即sin（x+）=1时，ymax=
则所求函数的最大值为（2+1）。
注：这类题型相对较简单，没有什么难度，同学们只要知道了这个解题的方法，再次遇到这种题时就可很容易的求出函数的最值。
（三）利用基本不等式求函数的最值
基本思想：这里所说的基本不等式用得最多的就是均值不等式，当然，其他常用的不等式也在我们的选择范围之内，在利用基本不等式求最值时，需要考虑到以下三个条件：1.各项都是正值；2.各项之和（或之积）为定值；3.等号能够成立。
不等式的运用不好掌握，到底该选哪个不等式，要具体题目具体分析，选对不等式，也不一定能够做出题目，往往还要结合拆项、添项、凑系数等技巧才能完整的解决所求问题，因此，在求函数最值问题上，同学们一定要练习自己的发散思维，力争做到灵活运用不等式，而不是死记硬背。
例4：求函数y=+的最小值。
解：y=+=+
=3+2tan2x+cot2x
≥3+2.
当且仅当tan2x=cot2x，即tan2x=时取等号。
故函数的最小值为3+2。
（四）利用一元二次函数根的判别法求函数最值
基本思想：其主要思想就是把所求函数的最值问题经过等价变形，化为一元二次函数的形式，然后再利用一元二次函数的判别式进行计算。
例5：求函数y=的最值。
解：∵y= ∴原方程可化为
（y-1）tan2θ+（y+1）tanθ+y-1=0
（1）当y-1=0时，即y=1时，tanθ=0，∴θ=kπ（k∈Z）
（2）当y-1≠0，即y≠1，由△=（y+1）2-4（y-1）2≥0解得≤y≤3 .则由（1）（2）可知所求函数的最大值为3，最小值为。
注：此方法运用时应注意分类讨论，原函数化为一元二次函数的形式后，并不一定为一元二次函数，一定要分二次项系数为零和不为零进行讨论。
三、结语
以上四种题型是求函数最值最常用的方法，其中第一种方法较为简单；第三种方法稍有点难度，只要适当的选取不等式就可以解决问题；第二种和第四种方法都用到了分类讨论的思想，做起来稍微有点复杂，但难度不大，只要学生用心，题目都可以做对，当然，函数最值问题还有很多的其他办法，不管哪种办法，学生都要深化为自己的东西，才能灵活的解决此类问题。
参考文献：
[1]吕浦.几种三角函数的最值问题[J].中学生数学，2004（9）.
[2]段刚山.探求一类三角函数的最值问题[J].数学通报，2008（6）.
[3]杨海英.对于三角函数最值问题的几点思考[J].考试周刊，2007（48）.
（责编 赵建荣）
转载注明来源:https://www.xzbu.com/1/view-11718736.htm
