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信息技术环境下的三角函数教学

作者:未知

  摘 要:高中数学在初级数学教学中占据着极其重要的位置,其中三角函数既是教学重点,同时也是教学难度,如何攻破三角函数这颗“硬钉子”就成为能否保证高中数学教学质量的关键所在。其实三角函数既简单又复杂,要使学生认识到三角函数的图像特点以及不同三角函数之间的变化关系,这样才能使整个教学过程变得既轻松又有趣,而几何画板则是当代高中数学教学中不可缺少的重要教学工具,合理使用几何画板可以使三角函数的教学变得生动而高效。
  关键词:高中数学;三角函数;几何画板;教学方法;多媒体
  几何画板是一种高效、形象的多媒体教学工具,通过几何画板教师可以更轻松、随意、形象地画几何图形,并且能够进行任意翻转、平移、着色等一系列教学活动。对于学生而言通过几何画板他们可以更形象、具体地感知图形或图像的特点、特性以及变化规律,他们可以与图像进行一次亲密接触,甚至可以自己动手绘制、“制造”一个相关图像。这样的教学内容不仅使课堂更“活”,也使学生对学习的积极性更高,使抽象的数学图像变得有形象、有特点,使得教学过程变得有趣和丰富。
  一、 善用几何画板,使三角函数变得形象
  根据以往的教学经验,学生普遍反映三角函数太抽象,正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等函数图像的特点以及三角函数之间的转化关系弄不清,对函数的奇偶性、单调性弄不明白。其实我们在责怪学生学不明白、学不透的同时,也应该对自身的教学方法进行反思。传统的教学方式单单是给出学生一幅图片,让学生联想三角函数之间的动态关系、转化关系,这样就使得教学课堂变“死”了。几何画板是一种先进的教学工具,通过几何画板我们能够使学生准确地掌握理论知识与函数图像的关系,使不同三角函数之间的变化关系更有规律,使它们之间的联系更紧密。也能够使得学生能够对三角函数有一个动态地、形象地接受过程和感官认知。
  针对这一问题,我们是这样设计三角函数的几何画板教学过程的。如在三角函数的教学的第一步——认识三角函数时,我们首先要巧用几何画板为学生绘制三角函数图形,这样就可以使学生对三角函数图像的形成过程以及三角函数的函数意义有了一个更确切地了解和认知。如以正弦函数为例,绘制过程如:首先打开几何画板,
  1. 第一步,确定单位长度,在画板中任意标出一点A,使点A向右平移1cm形成点B,连接AB。使用绘图——定义单位长度来自定义AB为单位长度。
  2. 第二步,在画板中任意选取一点O,以O为圆心,以1个AB长为半径,作圆。
  3. 第三步,以圆心O为原点做平面坐标系,绘制x轴和y轴,记x轴与圆相交的两点分别为点E(正方向)和点E′,记y轴与圆相交的两点分别为点F(正方向)和点F′。
  4. 第四步,在圆上取一点M,连接点M和圆心O,要求OM在y轴正方向,且记OM与OF所成角度为角α。
  5. 第五步,过点M做x轴的垂线,记垂足为点M′。用箭头工具连接O、M′、M三点,方向为点O→点M′→点M。
  6. 最后一步,我们为了使学生更清楚、准确地了解到正弦函数的形成过程,我们配合Flash软件,制作当点M在圆上做顺时针运动时,点M所对应的(x,y)图像关系,此时x代表点M的运动轨迹,y代表MM′的长度。当Flash动画演示时,学生发现点M的函数图像如同波浪的形状一样,学生都感觉到惊讶极了。最后我们让学生利用三角形OM′M来证明为什么sinα所对应的函数图像可以利用M在圆上的運动轨迹来表示。之后学生开始分组讨论,并且利用余弦的定义推导出答案。之后我们向学生发问:那余弦、正切函数又该如何表示?学生陷入沉思,之后课堂进入第二阶段。
  二、 巧用几何画板,使数学课堂变得生动
  在利用几何画板成功地为三角函数“制作”出形象后,课堂教学的第二阶段就应该是使学生认识三角函数的图像特性和变化规律了。对于这点几何画板同样可以达到十分理想的教学效果。由上文已知,正弦函数的意义在于点M在圆上顺时针的运动轨迹与MM′长度的对应关系,那么由此可推余弦函数的意义在于点M在圆上顺时针的运动轨迹与OM′长度的对应关系。这样学生就能够更直观、清楚地了解到三角函数的实际意义和由来,能够建立正弦函数与正弦定理的联系、余弦函数与余弦定理的联系。在教学中我们以正弦函数以及余弦函数的形成过程为入手点,首先使学生意识到三角函数不难,并渐渐地开始接触、认识三角函数。之后我们利用几何画板将课堂深化。
  如我们接下设计思考题:“老师已经演示了正弦函数和余弦函数的形成过程,你们也能够建立正弦定理和正弦函数的关系以及余弦定理和余弦函数的关系。那么接下来你们想一想该如何用几何画板绘制正切函数,并且找出正切函数关于‘圆动’的图像?”之后我们将全班学生分成若干个组进行讨论。学生根据正弦函数的推导过程,即:以角α为固定角,建立点M在圆上的运动轨迹与MM′长度的对应关系。在思考后,学生纷纷说出自己的想法。学生发言总结:要想建立正切函数,我们首先就要找准圆内的正切关系,即角α对边与角α邻边的比值。我们首先做OM的延长线,在点E处做x轴的垂线,交OM的延长线于点G,用箭头工具连接点E和点G,方向为由点E到点G。这样我们所求的函数对应关系就出来了,即点E在圆上的运动轨迹与EG长度的对应关系。我们首先给予学生肯定和表扬。像这样的教学过程不仅使教学难度得到适当降低,而且使教学过程变得具有趣味性和探究性,使教学过程由浅入深,并且还能够培养学生自主学习、自主探究学习能力,使学生在教学过程中的参与感增加,使课堂的互动效果更好,最终达到使课堂活起来的目的。
  这样的教学过程也更易激发学生的自豪感和学习信心,使学生对三角函数的概念、图形特点、变化特点等有了更直观地认知和了解,使学生不仅知其然,而且知其所以然。之后我们趁热打铁,让学生将“圆动”图像与函数图像相互结合起来进行分析,进而得到三角函数的图像特性和变化规律。以正弦函数为例,我们为学生设计思考题:若点M运动四分之一个圆、二分之一个圆、四分之三个圆、整个圆,那么MM′的长度会呈现出怎样的变化规律?我们给学生5分钟的思考时间,并不断、缓慢地演示“圆动”图与三角函数形成图互相转化的Flash动画,并由此进入到三角函数教学的第三个阶段。   三、 妙用几何画板,使数学教学变得高效
  三角函数图像的变化特点、单调性、转化关系等是三角函数教学中非常重要的内容,但传统的教学方式只将结果给学生,甚至只利用一幅标准的三角函数图像进行一般规律总结,这种“灌输”式的教学方法既无法引起学生的学习兴趣,而且还会使学生将三角函数学“死”了,其脑海中根本无法形成有效的数学模型。几何画板则可以很好地弥补这种不足,通过几何画板使学生明确正弦函数、余弦函数、正切函数的“来龙去脉”后,通过丰富、灵巧地操作和形象、生动地演示使学生能够自主去思考三角函数的图像特性、探究三角函数的特点,并且对三角函数的学习和理解过程更是自然。
  根据上文的思考题,我们顺利地将教学任务引入到第三个阶段——探究与应用阶段。学生在对正弦函数中点M的“圆动”轨迹和三角函数的图像行进比对和分析后,发现:以规定单位长度为1,那么就有在-π2,π2区间上,正弦函数的函数值由-1到1逐渐增加,在这个区间上正弦函数呈现单调递增性。在π2,3π2区间上,正弦函数的函数值由1到-1逐渐减小,在这个区间上正弦函数呈现单调递减性。并以正弦函数为基础,让学生根据几何画板的变化规律自行推导余弦函数和正切函数的图像特点。
  如正切函数,在-π2,π2区间上由无限小到无限大,并以π为单位无限循环,正切函数是单调递增函数。之后我们可以抓住学生的这种学习热情,将问题深化,引出一些相關的函数特性。如当角α在π4,5π4内时就有cosα≤sinα。当角α在
  -5π4,π4内时就有cosα≥sinα。进一步引导学生自行推导出sinα+cosα以及sinα-cosα的符号象限分布特点等一系列内容。在教学中我们还可以教学生如何对几何画板进行操作,并且利用几何画板进行三角函数平移、正余弦函数转换等内容的教学,使学生对三角函数有更形象地认知。
  高中数学的知识特点就是难度大、关联紧、数量多,尤其是以三角函数这章的知识最为明显。三角函数是高中数学中最为重要的,同时也是较为抽象的、难教的。因为三角函数中同时涵盖了数与形这两个方面的内容。几何画板是一种先进、高效地教学手段和教学工具,在教学中我们要善用、巧用、妙用几何画板,引导学生产生学习兴趣和探究行为,这样才能从根本上提高三角函数的教学质量和教学结果。
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  作者简介:黄山,福建省宁德市,霞浦第一中学。
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