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浅谈三角函数的解题方法

作者:未知

  摘要:在高中数学研究中,对三角函数的掌握可以帮助学生分析问题,很好的深入掌握一些函数的性质和图像,不同类型的三角函数用不同的方法进行求解,对这个主题进行研究和总结是非常有必要的,在高考数学中,三角函数的求解是占了很大的比例,在高中数学学习中学好三角函数对我们是非常重要的。
  关键词:三角函数;单调性;周期性;奇偶性;最值;对称性
  三角函数的学习涉及广泛,需要学生用大量时间学习相关知识,所以学生在学习过程当中会感觉到有一定的难度,教师在教学过程中要启发和引导学生学习类比,推广,特殊化,整体代换等的数学思想,使学生学会数学思考与推理,不断提高数学思维能力。从解析几何的学习中,我们感受到代数方法(数及其运算)在研究几何问题中的作用和有效性,通过本章的学习可以发现,“只变其形其质”的代数变换,这种变换是解决数学问题的重要手段,三角变换也是“只变其形其质”的,这种变换是解决问题的关键;所以在教学中我们要”观察”,“思考”,“探究”相结合,教学是教师的教与学生的学的统一的过程,是师生交流,积极互动,共同发展的过程,一种全新的,主体性的教学模式应运而生,引起教师与学生之间知识上有意义上的讨论,学生掌握知识,形成能力,沟通现实生活与数学学习,将抽象的数学问题与抽象定义之间的桥梁,诱发学生思维的积极性,引起学习更多的联想,能容易调动学生已有的知识经验,感受和兴趣,学生不会感到枯燥,使学生自主参与知识获得过程,问题的解决过程,让学生的学习兴趣大大的提高,同时也极大的促进了学生的学习能力。
  一 三角函数的定义:
  我们知道,实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系,而一个确定的角又对应的唯一的正弦(余弦)值,由这个对应法则确定的函数叫正弦(余弦)函数,用y=sinx(y=cosx),他们的定义域都是实数集R。
  二 三角函数的图像
  [1]三角函数的图像可以通过实验得到:
  在高中数学教学中,三角函数的图像是塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏抖,再挂在架子上,做成一个简单的单摆,在正弦余弦的下方放一塊纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横坐标,把漏抖灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可以得到一个正余弦曲线。
  [2]数学方法得到正弦余弦曲线
  将单位圆均分成12等分,过圆上各分点作X轴的垂线,得到对应于 ... 。角的正弦线,相应地,再把x轴上从0到 的这一段分成12等分,把X轴的正弦线向右平移,使它的起点与X轴重合,再把这些正弦线向右平行,使它的起点与X轴的点重合,再把这些正弦线的终点用光滑的曲线连接起来,就可以得到正弦函数的图像了。
  [3]学生作正弦函数的图像时常采用的五点作图法。解题时常采用整体代换的思想。
  三 三角函数的性质:
  【周期性】由三角函数的图像可知三角函数是一个周期函数,并且最小的正周期为2 ,计算公式为:
  【定义域】正弦函数的定义域为R。
  【单调性】正(余)弦函数的图像在R上是一个连续的无限延展波浪形状的数学图像,y=sinx单调递增区间为[ ,单调递减区间为 ;y=cosx的单调递增区间为 ,单调递减区间为 。在求解正(余)弦函数的单调性时一定要保证表达式中 的系数为正,但系数为负数时要先提出一个系数来,变成y=-sinx,单调性与原来函数相反,余弦函数的单调性与原来函数相同。
  【奇偶性】正弦函数为奇函数,图像关于原点对称,余弦函数为偶函数,图像关于Y轴对称。
  【最值】正弦函数和余弦函数的图像都夹在Y=1和Y=-1之间,对于y=sinx,在 时取得最大值为1,在 时取得最小值为-1;对于y=cosx,在 时取得最大值为1,在 时取得最小值为-1.
  四 三角函数 的解析式
  求解三角函数的解析式在高考中有重要的意义,主要有以下几个方面:A等于函数的最大值减最小值的二分之一;求W前必须先求周期T,而一个简谐运动中四段为一个周期,依据函数的图像可以求解出T,即又因为 ,可以求出W的值, 要用五点法来进行求解,主要是设第一点: 第二点设 ,第三点设 ,第四点设 ;B等于函数的最大值加最小值的二分之一。
  五:三角函数 中求解问题。
  中求解周期,单调性,最值,对称性,主要的方法就用整体代换,即将 看成一个整体,将 换成 型的形式,利用标准的 的图像和性质来进行求解,但问题就来了,在具体求解的三角函数中,往往不会给你 的形式,是需要求转换为标准形式,一般情况下利用以下几种方法将转换为标准形式,(1)利用和差角公式,(2)利用二倍角正弦公式,(3)利用正余弦函数的升角降幂公式,(4)利用三角恒等变换公式: ,利用以上四种方法将三角式子换成标准形式 ,就可以求解了。
  总之:三角函数这章的知识面比较广,问题具有一定的复杂性,需要记忆和理解知识多,而且还要灵活的运用涉及的公式,需要通过总结复习,对所学的理论进一步强化,应做好错题记录本和练习本,了解自身的不足,并对自身的不足进行反思,完善,找到适合自己的学习方法,做到举一反三,养成反思的好习惯,最终实现高效学习。教师在教学过程中要帮助学生掌握正确而科学的学习方法,能让他们终身受益,古人云:“授人以鱼,不如授人以渔。”我要求学生根据相关的问题要主动的去查询资料,然后去整理利用这些信息来设计恰当的学习活动,有助于学生掌握知识和能力要求。
  参考文献:
  [1]彭雨韵,《关于高中学习的心得体会》
  [2]章建跃,普通高中课程实验教材人教版。
  [3]《中学生报.教研周刊》知网查询方法http://cnki.net。
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