波利亚数学解题思想在有余数除法中的应用
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摘 要 本文主要探究用波利亚数学解题的基本思想来指导小学数学解题法的探究过程，期待能优化小学数学解题方法，为数学课堂提供理论和实践参考，培养学生养成有逻辑性，层次性，严密性的数学解题思想。本文以《孙子算经》中的“物不知数”题目为例，探究以学生为主体，应用波利亚数学解题的基本思想指导数学解题理论和实践的微课堂。
关键词 波利亚数学解题思想 数学核心素养 数学解题 微课
中图分类号：O13 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2019.12.013
The Application of Polya's Idea of Mathematical Problem Solving
in Division with Remainder
WAN Min
（College of Mathematics and Statistics in Guangxi Normal University， Guilin， Guangxi 541004）
Abstract This paper mainly explores the basic idea of using polya mathematical problem solving to guide the primary school mathematical problem solving method exploration process， looking forward to optimize the primary school mathematical problem solving method， to provide theoretical and practical reference for the mathematics classroom， to cultivate students to develop logical， hierarchical， strict mathematical problem solving thought. In this paper， the topic of "the unknown number of things" in "Sunzi suanjing" is taken as an example to explore the micro-class in which students are the main body and the basic thought of solving mathematical problems is applied to guide the theory and practice of solving mathematical problems.
Keywords Polya mathematics problem solving thought; mathematics core accomplishment; mathematics problem solving; micro-class
教会学生如何思考是开设数学课程的主要目的。教会学生在数学解题过程中的思考训练可以锻炼学生的独立思考能力、判断能力、独创性和想像力。George Polya认为“教会思考”意味着数学教师不仅仅应该传授知识，而且也应当去发展学生运用能力，在技能、技巧、思考方式和思维习惯。[1]所以本文以波利亚数学解题的基本思想为指导。基于波利亚数学解题的基本思想，根据波利亚怎样解题表，实现弄清问题，拟定计划，实现计划，回顾检验的四部曲解题过程。用理论来优化小学数学解题方法，提供理论和实践参考，培养学生养成有逻辑性，层次性，严密性的数学解题思想。案例选自南北朝时期的数学著作《孙子算经》中的“物不知数”题目，增加学生学习的趣味性，并体会到中国数学的博大精深。在例题讲解中，立志于渗透数学核心素养，将数形结合思想，类比思想穿插其中，让学生体会到数学的灵活性，为以后学习数学插值法，学习数学知识，建立坚实的基础。
1 波利亚数学教育思想简述
波利亚数学教育的根本目的是发展学生的解决问题的能力，教会学生思考。其两大原理是理解数学和理解教学法。三条原则分别是：（1）主动学习，学东西的最好途径是亲自去发现它。（2） 有最佳动机，重视引入问题，尽量诙谐有趣，在做题前让学生猜该题的结果，激发兴趣，培养探索习惯。（3）讲解过程中循序渐进，人类知识以直观开始，由直观进至概念，形成结构。 基于三条原则，优化学习过程，使学生经历探索，阐明，吸收，三大学习过程。[2]
2 数学核心素养数简述
教育部在《關于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》提出，创建“核心素养体系”，聚焦本学科的本位核心素养。数学核心素养中，要体现数学学科本质，学科育人价值。其中逻辑推理，本案例主要围绕直观想象和逻辑推理。
2.1 直观想象
本文案例用画圆来分析包含问题，辅助学生理解题意，应用数形结合的思想。案例中渗透数形结合思想，培养学生直观想象能力。直观想象，借助几何直观，空闻想象判断事物的形态与变化。[3]
2.2 逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素辨。一个是从特殊到一般的推理，归纳、类比，二是一般到特殊的推理，演绎。逻辑推理是得到结论、数学体系。[3]在本位的案例的拓展题目中，应用类比思想，培养学生逻辑推理能力。通过类比，发现插值问题与“有物不知其数的问题” 结构相同，因此可以考虑用“叠加法”解决类似问题。 3 基于波利亚解题思想，设计数学解题微课案例
3.1 数学解题案例的基本背景
案例选择南北朝时期的数学著作《孙子算经》中的“物不知数”题目：有物不知其数，三三数之剩a，五五数之剩b，七七数之剩c，问物几何？ （学生已学过有余数的除法）
3.2 数学解题微课的课堂实录分析
阶段一：弄清问题。
【片段设计】问题1：你要求解的是什么？
问题2：隐藏关键信息是什么？
问题3：你能画张图，理清思路吗？画图，引入适当的符号。
【片段实录】：
师：南北朝时期的数学著作《孙子算经》中有一道的、“物不知数”题目。请大家将这道“物不知数”的题目朗读一遍，请问读的时候需要注意哪些数学信息？
生：要审题，圈出关键词，找到已知条件，所求问题是什么。
师：正是如此！审好题目，读懂题目是关键。
师：先请同学们翻译下这段文字。
生：已知一个数被3除余数是a;被5除余数是b;被7除余数是c，求：这个数是多少？
师：根据什么原则可以判断这道题目中的a，b，c可能是几？
生：根据余数比除数小的原则，一个数被3除余数a可以是0、1、2;被5除余数b可以是0、1、2、3、4;被7除余数c可以是0、1、2、3、4、5、6。
师：同学们真棒，一眼就分辨出了这道题就是考察我们是否掌握了余数定理。
所求的数要满足这三个条件中的几个条件，还是同时满足，请同学们分析。
生：老师，我觉得可以用画圆来分析包含问题。
师：这位同学真棒！我们可以应用数形结合的思想，画圆来分析包含问题。
【片段评析】课改后，关键在于培养学生的读题能力，独立思考能力，数学核心素养和。波利亚解题表中，步骤一弄清问题向学生提出：（1）未知是什么？已知是什么？（2）各部分分开，理清条件。（3）画图，理清思路。三个步骤明确指导学生独立思考，让学生对问题的思考有逻辑，有层次。渗透数形结合，培养学生直观想象能力，用画圆理解三个条件之间的包含关系。
阶段二：拟定计划。
【片段设计】
问题1：是否解决过问题相同，而形式不同题目？
问题2：可解决一个有关的问题。想出一个更容易解决问题？一个更普遍，特殊问题，类比问题？
【片段实录】：
师：现在我们根据画图分析得到，所求的数可以除以3，5，7分别除尽或有余数，三个条件满足一个或几个都要满足。这时候我们可以用什么方法？
生：叠加法的方法，可以试试把三个条件写到同一个式子中。
師：把三个条件写到同一个式子中时，a，b，c的取值有多种，这时候怎么研究方便？
生：老师，我知道，我们可以取特殊值，具体分析。
生：我们可以从最简单的入手，取a=1，b=1，c=1。
师：同学们这个想法非常棒，当问题复杂的时候，我们可以取特殊值，从特殊到试一试。
生：我先找到用3除余1、用5和7除均能除尽的数—— 70;再找到用5除余1、用3和7除均能除尽的数—— 21; 找到用7除余1、用3和5除均能除尽的数—— 15。
生：我还找到这三个圆交集的部分，就是同时能被3，5，7除尽的最小数为[3，5，7]=105。
【片段评析】学生通过独立思考，发现不能解决所提出的问题。根据波利亚解题表，教师启发学生可先解决一个更容易着手的有关问题，一个更普遍的问题，一个更特殊的问题，一个类比的问题。在波利亚解题思想的指导下，学生思考问题由易到难，由浅入深，从而使学生的思维更具有层次性，逻辑性。在解题过程中，志在培养学生的数学核心素养。教师的每一次启发性提问，对学生的自主探究引导性话语皆在训练学生的逻辑推理能力。
阶段四：实现计划，取特殊值，引入参数。
【片段设计】实施求解计划，验证每一步是否正确？
【片段实录】：师：我们刚才同学们提到了用叠加法来将这三个条件同时满足，请同学们开动脑筋，你能表示出这个数吗？
生：我们算出被3，5，7除余1时的特殊值，将这些特殊值分别乘a，b，c即为余数为a，b，c时的值。
【片段评析】拟定计划后，教师根据波利亚解题表，引导学生实施计划，检验。
阶段四：回顾检验。
【片段设计】
总结方法，能否一题多解。
【片段实录】：
师：这道题目解答完成以后，我们应该做什么？
生：检验！
生：我们可以把a，b，c分别等于2，3等其他值带入，判断得到的数是否符合题目条件。
生：我们也可以从头到尾，依次检查每一步是否推理有效。
师：同学们做题真仔细，做任何题目我们一定不能忘记，要回顾检验！
师：大家真聪明，和我们古代数学家研究的结果一样。南宋时期的数学家秦九韶研究出了这题的系统算法。这就是著名的中国剩余定理。再次回顾下这道题目，你从中学到了什么，有没有什么启示？
生：古人真聪明！我们要好好读书，像他们一样探索问题，为后人留下宝贵的财富。
生：今天我学会了画图分析题目，体会到了数形结合百般好，以后我要常用。
生：对于有物不知其数的题目，和我以前看到爸爸看的书中的插值问题看着类似，我们可以借用其的叠加法来解决这类问题。
师：看来同学们今天收获很多，古人的智慧令我们惊叹，我们通过自己的研究努力，也做到了正确求解，并且体会到了，数形结合法，类比叠加法的好处。 【片段评析】
（1）先检验推理是否有效的，取特殊值，检验符合题意。
（2）教师引导学生回顾解题过程，首先培养学生良好的思维习惯。明确解题首先弄清题意，明确数学知识点，即有余数除法的定义、通过类比，发现插值问题与“有物不知其数的问题” 结构相同，因此可以考虑用“叠加法”，并引入参数题目的经验），并相应将两组信息资源作合乎逻辑的有效组合。
（3）在解题方法上，这个案例是类比法的一次成功应用，通过类比，发现插值问题与“有物不知其数的问题” 结构相同，因此可以考虑用“叠加法”，并引入参数。
（4）在思维策略上，这采用画示意图理解题意，（下转第60页）（上接第27页）数形结合的方法。类比，发现插值问题与“有物不知其数 的问题” 结构相同，因此可以考虑用“叠加法”，并引入参数，从而解决插值问题。
（5）教师揭示案例源自南北朝时期的数学著作《孙子算经》中的“物不知数”题目，在情感上使学生体会到学习的趣味性，中国数学文化的博大精深。
4 基于核心素养的案例拓展应用
教师在教學生解题时，要做到一题多解、一题多变，一题多用。通过类比，发现插值问题与“有物不知其数的问题” 结构相同，因此可以考虑用“叠加法”。案变式：
问题：有函数不知其式，在处取值a，在处取值 b，在处取值 c ，求函数解析式。
通过类比，发现插值问题与“有物不知其数的问题” 结构相同，因此可以考虑用“叠加法”：
先作函数p（x） ，在处值为1，在， 处值均为0;
再作函数q（x），在处值为1，在，处值均为0;
再作函数 r（x） ，在处值为1，在，处值均为0。
通过类比，发现插值问题与“有物不知其数的问题” 结构相同，因此可以考虑用“单因子凑成法”：
不妨设
参考文献
[1] George Polya.数学的发现（第二卷）[M].美国：科学翻译出版社.
[2] George Polya.怎样解题：数学思维的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2011：11-1.
[3] 中华人民共和国教育部制定.数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2017.
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